Question

Sin(pi/2-x)+2cos2x=1 решить уравнение

Answer 1

Sin(pi/2 - x) = cosx
cosx + 2cos2x = 1
2cos²(x) - 2sin²(x) + cosx = 1
sin^2(x) = 1-cos^2(x)
2cos²(x) - 2 + 2cos²(x) + cosx = 1
t = cosx
4t² + t - 3 = 0
4(t + 3/2)(t - 1/2) = 0
[t = -3/2] Посторонний корень, тк cosx ∈ [-1;1]
t = 1/2
cosx = 1/2
x = ±π/3 + 2πk, k ∈ Ζ

Answer 2

Для решения уравнения Sin(pi/2-x) + 2cos(2x) = 1, следует применить несколько шагов.

Шаг 1: Используем тригонометрические тождества, чтобы упростить уравнение.

Тригонометрические тождества, которые нам понадобятся:

1. sin(pi/2 - x) = cos(x)
2. cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)

Шаг 2: Подставим тождества в уравнение и упростим:

cos(x) + 2(1 - 2sin^2(x)) = 1

Шаг 3: Распишем умножение:

cos(x) + 2 - 4sin^2(x) = 1

Шаг 4: Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

cos(x) - 4sin^2(x) = 1 - 2

Шаг 5: Упростим:

cos(x) - 4sin^2(x) = -1

Шаг 6: Используем тригонометрическое тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1, чтобы выразить cos^2(x):

cos^2(x) = 1 - sin^2(x)

Шаг 7: Подставим cos^2(x) в уравнение:

(1 - sin^2(x)) - 4sin^2(x) = -1

Шаг 8: Раскроем скобки и упростим:

1 - sin^2(x) - 4sin^2(x) = -1

1 - 5sin^2(x) = -1

Шаг 9: Перенесем слагаемые на одну сторону уравнения:

-5sin^2(x) = -1 - 1

-5sin^2(x) = -2

Шаг 10: Разделим обе стороны на -5:

sin^2(x) = 2/5

Шаг 11: Возьмем квадратный корень от обеих сторон:

sin(x) = ±√(2/5)

Шаг 12: Найдем значения sin(x):

sin(x) = ±√(2/5) ≈ ±0.632

Шаг 13: Найдем значения угла x, используя обратную функцию синуса:

x = arcsin(±√(2/5))

Так как arcsin имеет значения только в диапазоне от -π/2 до π/2, исключим значения вне этого диапазона.

x ≈ arcsin(√(2/5)) ≈ 0.729 (радианы)

x ≈ arcsin(-√(2/5)) ≈ -0.729 (радианы)

Итак, уравнение имеет два приближенных решения: x ≈ 0.729 (радианы) и x ≈ -0.729 (радианы).