Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^3+1, y=0, x=0, x=2. Сделать рисунок

Answer 1

Решение
[2; 0] ∫ (x^3+1) dx = 1/4 x^4 + x [0; 2] = 1/4 (2^4 -0^4) + 2 -0 = 6
         
ответ 6

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной этими линиями, сначала необходимо найти точки пересечения кривых. Затем мы интегрируем функцию, чтобы найти площадь ограниченной фигуры.

1. Найдем точки пересечения кривых: Приравняем уравнение параболы (y = x^3 + 1) к нулю и решим относительно x: x^3 + 1 = 0 x^3 = -1 x = -1

Таким образом, кривая пересекает ось x в точке (-1, 0).

Теперь, чтобы найти точку пересечения между кривыми y = x^3 + 1 и x = 2, подставим x = 2 в уравнение кривой y = x^3 + 1: y = 2^3 + 1 y = 8 + 1 y = 9

Таким образом, кривая пересекает ось y в точке (2, 9).

2. Вычислим площадь фигуры с использованием интеграла:

Площадь ограниченной фигуры можно найти как разность между интегралами функций y = x^3 + 1 и y = 0 в пределах от x = -1 до x = 2:

Площадь = ∫[от -1 до 2] (x^3 + 1) dx - ∫[от -1 до 2] 0 dx Площадь = ∫[от -1 до 2] (x^3 + 1) dx Площадь = [1/4 * x^4 + x] [от -1 до 2] Площадь = (1/4 * 2^4 + 2) - (1/4 * (-1)^4 - (-1)) Площадь = (1/4 * 16 + 2) - (1/4 - (-1)) Площадь = (4 + 2) - (1 + 1) Площадь = 6 - 2 Площадь = 4

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^3 + 1, y = 0, x = 0 и x = 2, равна 4 квадратным единицам.

Теперь давайте построим рисунок для данной фигуры:

pythonCopy code
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Определение функции y = x^3 + 1
def f(x):
    return x**3 + 1

# Создание массива значений x от -1 до 2 с шагом 0.01
x = np.linspace(-1, 2, 100)

# Вычисление значений y для каждого x
y = f(x)

# Построение графика функции y = x^3 + 1
plt.plot(x, y, label='y = x^3 + 1')

# Построение прямых y=0 и x=2
plt.plot(x, np.zeros_like(x), 'k', label='y = 0')
plt.axvline(x=2, color='r', linestyle='--', label='x = 2')

# Добавление точки пересечения кривых
plt.scatter([-1, 2], [0, 9], color='g', label='Точки пересечения')

# Добавление подписей осей
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')

# Добавление легенды
plt.legend()

# Отображение графика
plt.grid()
plt.show()

На графике вы увидите параболу y = x^3 + 1, прямую y = 0, вертикальную прямую x = 2 и точки пересечения кривых. Площадь ограниченной фигуры равна 4 квадратным единицам, что можно подтвердить вычислениями выше.

Answer 3

Для вычисления площади фигуры ограниченной графиками функций, необходимо найти интеграл функции, которая задает верхнюю границу фигуры, и вычесть из него интеграл функции, задающей нижнюю границу фигуры.

Дано:

1. Верхняя граница фигуры: y = x^3 + 1
2. Нижняя граница фигуры: y = 0
3. Пределы интегрирования: x = 0 и x = 2

Теперь найдем площадь фигуры:

Площадь = ∫[a, b] (верхняя граница - нижняя граница) dx

где a = 0 (левый предел интегрирования) и b = 2 (правый предел интегрирования).

Подставим значения верхней и нижней границ:

Площадь = ∫[0, 2] (x^3 + 1 - 0) dx Площадь = ∫[0, 2] (x^3 + 1) dx

Теперь произведем интегрирование:

Площадь = [x^4/4 + x] [от 0 до 2] Площадь = [(2^4/4 + 2) - (0^4/4 + 0)] Площадь = [(16/4 + 2) - (0)] Площадь = (4 + 2) = 6

Таким образом, площадь фигуры ограниченной графиками функций y = x^3 + 1, y = 0, x = 0 и x = 2 равна 6 квадратным единицам.

Теперь нарисуем график данной функции и обозначим область, ограниченную указанными линиями:

pythonCopy code
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Функция, задающая верхнюю границу фигуры
def upper_boundary(x):
    return x**3 + 1

# Функция, задающая нижнюю границу фигуры
def lower_boundary(x):
    return 0

# Задаем интервал от 0 до 2
x = np.linspace(0, 2, 100)

# Вычисляем значения функций на заданном интервале
y_upper = upper_boundary(x)
y_lower = lower_boundary(x)

# Рисуем график функций
plt.plot(x, y_upper, label='y = x^3 + 1')
plt.fill_between(x, y_upper, y_lower, where=(y_upper > y_lower), color='gray', alpha=0.5)
plt.fill_between(x, y_upper, y_lower, where=(y_upper <= y_lower), color='white')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График фигуры, ограниченной линиями y=x^3+1, y=0, x=0, x=2')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

На графике серая область обозначает фигуру, ограниченную указанными линиями, а белая область - пространство под графиком y = x^3 + 1, но выше оси x.