Question

Помогите решить интеграл sin^5x/cos^3x

Answer 1

Посмотрите предложенный вариант, проверка не проводилась.

Answer 2

Для решения данного интеграла, воспользуемся методом замены переменной. Предлагаю выполнить следующую замену:

Положим u = cos(x), тогда du = -sin(x) dx.

Теперь интеграл примет следующий вид:

∫(sin^5(x) / cos^3(x)) dx = ∫(sin^5(x) / cos^3(x)) * (-sin(x) / -sin(x)) dx = ∫(-sin^6(x) / (cos^3(x) * sin(x))) dx = -∫(sin^6(x) / (cos^3(x) * sin(x))) dx

Теперь заменим sin(x) в числителе на (1 - cos^2(x)):

-∫((1 - cos^2(x))^3 / (cos^3(x) * sin(x))) dx

Теперь заменим sin(x) на u и dx на du:

-∫((1 - cos^2(x))^3 / (cos^3(x) * sin(x))) dx = -∫(u^3 / (cos^3(x) * u)) du = -∫(u^2 / cos^3(x)) du

Теперь заменим cos(x) на u:

-∫(u^2 / cos^3(x)) du = -∫(u^2 / u^3) du = -∫(1 / u) du = -ln|u| + C

Используем обратную замену, чтобы выразить u через x:

u = cos(x)

Тогда окончательный ответ:

-∫(sin^5(x) / cos^3(x)) dx = -ln|cos(x)| + C

где C - произвольная константа.