Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2 y=2x+8

Answer 1

y = x²   -  квадратичная функция, график - парабола, ветви направлены вверх.

y = 2x + 8  -  линейная функция, график - прямая линия.

Точки пересечения графиков :

x² = 2x + 8

x² - 2x - 8 = 0

(x + 2)(x - 4) = 0

x₁ = -2;    x₂ = 4    - пределы интегрирования

Площадь фигуры ограничена сверху прямой линией  y=2x+8, снизу параболой  y=x²  ( см. рисунок).

$\displaystyle\int\limits^4_{-2} {\Big(2x+8-x^2} \Big) dx =\dfrac {2x^2}2+8x-\dfrac{x^3}3\ \bigg|_{-2}^4=\\\\~~~~~~~~~~~~=x^2+8x-\dfrac{x^3}3\ \bigg|_{-2}^4=\\\\\\=\bigg(4^2+8\cdot 4-\dfrac{4^3}3\bigg)-\bigg((-2)^2+8\cdot (-2)-\dfrac{(-2)^3}3\bigg)=\\\\\\=16+32-\dfrac{64}3-4+16-\dfrac83=60-\dfrac{72}3=36$

Ответ : 36

Answer 2

Ответ:

решение представлено на фото

Пошаговое объяснение:

Answer 3

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 и y = 2x + 8, нужно найти точки их пересечения и затем интегрировать функцию разности между ними.

Сначала найдем точки пересечения этих двух функций:

Поставим уравнения друг другу: x^2 = 2x + 8

Приведем уравнение к виду квадратного уравнения: x^2 - 2x - 8 = 0

Теперь решим это уравнение с помощью квадратного корня или формулы дискриминанта:

Дискриминант (D) = (-2)^2 - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36 x1 = (2 + √36) / 2 = (2 + 6) / 2 = 8 / 2 = 4 x2 = (2 - √36) / 2 = (2 - 6) / 2 = -4 / 2 = -2

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: (4, 2x + 8) и (-2, x^2).

Теперь рассчитаем площадь фигуры между этими двумя кривыми.

Площадь можно представить в виде определенного интеграла: S = ∫[a, b] |f(x) - g(x)| dx

где f(x) = x^2, g(x) = 2x + 8, a = -2 и b = 4.

Таким образом, площадь будет равна: S = ∫[-2, 4] |(x^2) - (2x + 8)| dx

Разделим интеграл на два:

S = ∫[-2, 4] (x^2 - 2x - 8) dx, при x от -2 до 4 + ∫[-2, 4] (2x + 8 - x^2) dx, при x от -2 до 4

Теперь проинтегрируем каждую из частей:

1. ∫(x^2 - 2x - 8) dx = (x^3 / 3) - (x^2) - (8x), при x от -2 до 4 = [(4^3 / 3) - (4^2) - (8 * 4)] - [((-2)^3 / 3) - ((-2)^2) - (8 * (-2))]

2. ∫(2x + 8 - x^2) dx = (x^2) + 8x - (x^3 / 3), при x от -2 до 4 = [(4^2) + 8 * 4 - (4^3 / 3)] - [((-2)^2) + 8 * (-2) - ((-2)^3 / 3)]

Теперь вычислим значения для каждой части:

1. [(4^3 / 3) - (4^2) - (8 * 4)] - [((-2)^3 / 3) - ((-2)^2) - (8 * (-2))] = [(64 / 3) - 16 - 32] - [(-8 / 3) - 4 + 16] = (64 / 3) - 48 - (-8 / 3) + 4 - 16 = 64/3 - 48/3 + 4 - 16 = 16/3 - 12 = 16/3 - 36/3 = -20/3

2. [(4^2) + 8 * 4 - (4^3 / 3)] - [((-2)^2) + 8 * (-2) - ((-2)^3 / 3)] = [16 + 32 - (64 / 3)] - [4 - 16 + 8] = 48 - (64 / 3) - 12 = 144/3 - 64/3 - 12 = 80/3 - 12 = 80/3 - 36/3 = 44/3

Теперь сложим значения для обеих частей:

S = -20/3 + 44/3 = 24/3 = 8

Таким образом, площадь фигуры между кривыми y = x^2 и y = 2x + 8 равна 8 квадратных единиц.