Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке y=3x-x^3 на [-2;3]

Answer 1

................................

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции y = 3x - x^3 на отрезке [-2;3], следует применить методы дифференциального исчисления. Найдем экстремумы функции и значения на концах интервала.

Шаг 1: Найдем производную функции y = 3x - x^3:

y' = d/dx (3x - x^3) = 3 - 3x^2.

Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение:

3 - 3x^2 = 0.

3x^2 = 3.

x^2 = 1.

x = ±1.

Критические точки: x = -1 и x = 1.

Шаг 3: Определение, являются ли найденные критические точки максимумами или минимумами. Для этого вычислим вторую производную:

y'' = d^2/dx^2 (3x - x^3) = -6x.

Шаг 4: Проверим значения второй производной в критических точках:

• y''(-1) = -(-6) = 6 (положительное значение).

• y''(1) = -(6) = -6 (отрицательное значение).

Шаг 5: Теперь найдем значения функции на критических точках и на концах интервала:

• y(-2) = 3*(-2) - (-2)^3 = -6 - (-8) = 2.

• y(-1) = 3*(-1) - (-1)^3 = -3 - (-1) = -2.

• y(1) = 3*1 - 1^3 = 3 - 1 = 2.

• y(3) = 3*3 - 3^3 = 9 - 27 = -18.

Шаг 6: Найдем наибольшее и наименьшее значение функции:

Наибольшее значение: 2 (достигается в точках x = -2 и x = 1).

Наименьшее значение: -18 (достигается в точке x = 3).

Итак, наибольшее значение функции на отрезке [-2;3] равно 2, а наименьшее значение равно -18.