Question

Исследовать на экстремум функцию y=3x-x^3. Ответ пожалуйста на бумаге.

Answer 1

y`=3-3x²
3-3x²=0
x²=1
x=1 точка max
x=-1 точка min

Answer 2

Хорошо, давайте исследуем функцию на экстремумы. Для этого нам понадобится найти производные функции и приравнять их к нулю, чтобы найти критические точки, в которых возможно нахождение экстремумов. Далее, мы проверим вторую производную в этих точках, чтобы определить, является ли экстремум максимумом или минимумом. Вот как это делается:

1. Найдем первую производную функции y=3x-x^3 по x: y' = d(3x-x^3)/dx y' = 3 - 3x^2

2. Приравняем y' к нулю, чтобы найти критические точки: 3 - 3x^2 = 0 3x^2 = 3 x^2 = 1 x = ±1

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 1 и x = -1.

3. Теперь найдем вторую производную функции y=3x-x^3 по x: y'' = d(3 - 3x^2)/dx y'' = -6x

4. Подставим критические точки во вторую производную: -6 * (1) = -6 -6 * (-1) = 6

5. Оценим результаты:

   a) В точке x = 1: y''(1) = -6 Если вторая производная отрицательна (y'' < 0), это означает, что функция имеет локальный максимум в данной точке.

   b) В точке x = -1: y''(-1) = 6 Если вторая производная положительна (y'' > 0), это означает, что функция имеет локальный минимум в данной точке.

Таким образом, мы нашли, что у функции y=3x-x^3 есть локальный максимум в точке (1, 2) и локальный минимум в точке (-1, -2).

Для более точного анализа экстремумов можно также проверить поведение функции на бесконечности, однако в данном случае критические точки достаточно, чтобы определить наличие локальных экстремумов.