Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2-4x, y=1, x=-1

Answer 1

Определяется по формуле 
интеграл от -1 до 0 x^2-4x= (x^3/3-2x^2) от -1 до 0= 0 -(-1/3-2)= 1/3+2

Answer 2

Сначала найдём точки пересечения первой и третьей функции:
x²-4х=-1
х²-4х+1=0
х1=2-√3 , меньше единицы поэтому не берём
х2=2+√3
площадь фигуры равна = снизу 1, сверху (2+√3)∫х²-4х-1-1 = равна = снизу 1, сверху (2+√3)∫х²-4х-2 = 15√3 - 24,(3) (приблизительно 1,647)

Answer 3

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y = x^2 - 4x, y = 1 и x = -1, мы должны определить область между этими графиками. Начнем с того, что построим их графики:

1. y = x^2 - 4x: Для нахождения вершины параболы (минимума или максимума), используем формулу x = -b / (2a). В данном случае a = 1, b = -4. x = -(-4) / (2 * 1) = 4 / 2 = 2. Подставим x = 2 в уравнение: y = 2^2 - 4 * 2 = 4 - 8 = -4. Таким образом, вершина параболы находится в точке (2, -4).

2. y = 1: Это горизонтальная прямая на уровне y = 1.

3. x = -1: Это вертикальная прямая, проходящая через x = -1.

Теперь нарисуем графики на графике:

javascriptCopy code
   |
 1 |                       *
   |                     /|
   |                   /  |
   |                 /    |
   |               /      |
   |             /        |
 0 | - - - - - * - - - - - * - - - -
   |        / |           |    /
   |      /   |           |  /
   |    /     |           |/
   |  /       |           *
   |/         |          
-1 *-----------|-----------|-----------|
             -1          2           4

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, ограниченной этими линиями. Площадь такой фигуры можно разбить на две части: треугольник и площадь между параболой и горизонтальной прямой.

Площадь треугольника: Полуоснование треугольника равно разнице x-координат вершины параболы и x = -1: база = 2 - (-1) = 3. Высота треугольника равна разнице y-координат вершины параболы и y = 1: высота = -4 - 1 = -5 (мы берем отрицательное значение, так как вершина параболы находится ниже горизонтальной прямой). Площадь треугольника = (база * высота) / 2 = (3 * -5) / 2 = -15 / 2 = -7.5.

Площадь между параболой и горизонтальной прямой: Между x-координатами 2 и -1 парабола лежит выше горизонтальной прямой, поэтому площадь между ними можно вычислить как определенный интеграл от функции (x^2 - 4x) - 1 на интервале от -1 до 2: Площадь = ∫[от -1 до 2] (x^2 - 4x - 1) dx = [x^3/3 - 2x^2 - x] от -1 до 2 Площадь = [(2^3)/3 - 2(2^2) - 2] - [(-1^3)/3 - 2(-1^2) + 1] Площадь = [8/3 - 8 - 2] - [(-1)/3 + 2 + 1] Площадь = [-16/3 - 2] - [2/3 + 3] Площадь = -22/3 - 9/3 = -31/3 ≈ -10.33.

Теперь объединим две площади, чтобы найти итоговую площадь:

Итоговая площадь = Площадь треугольника + Площадь между параболой и горизонтальной прямой Итоговая площадь = -7.5 + (-10.33) ≈ -17.83.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 - 4x, y = 1 и x = -1, приблизительно равна -17.83 квадратных единиц.