Question

На доске написано 10 натуральных различных чисел. Среднее арифметическое шести меньших из них равно 6,среднее арифметическое шести больших из них равно 13. а) может ли наименьшее из чисел быть 4 б)может ли среднее арифметическое всех десяти чисел быть 10,2 в) найдите максимальное среднее арифметическое Пожалуйста,объясните(решите) подробно

Answer 1

Обозначим числа по возрастанию
a1 < a2 < a3 < a4 < a5 < a6 < a7 < a8 < a9 < a10
Нам известно, что:
(a1+a2+a3+a4+a5+a6)/6 = 6
(a5+a6+a7+a8+a9+a10)/6 = 13
Получаем
a1+a2+a3+a4+a5+a6 = 36
a5+a6+a7+a8+a9+a10 = 78
а) Пусть наименьшее число a1 = 4, тогда остальные должны быть больше:
a2=5, a3=6, a4=7, a5=8, a6=9
Их среднее арифметическое: (4+5+6+7+8+9)/6 = 6,5 > 6
Ответ: нет, наименьшее число меньше 4. Например, (3+4+5+7+8+9)/6 = 6
б) Складываем оба уравнения
a1+a2+a3+a4+a5+a6+a5+a6+a7+a8+a9+a10 = 36+78 = 114
(a1+a2+ ... +a10) + (a5+a6) = 114
 Пусть среднее арифметическое всех 10 чисел равно 10,2. Тогда
a1+a2+ ... +a10 = 10,2*10 = 102
a5 + a6 = 114 - 102 = 12 = 1+11 = 2+10 = 3+9 = 4+8 = 5+7 = 6+6
Очевидно, не может быть a5 < 5, иначе будет a1 <= 0, а все числа натуральные.
Но и a5 = 6 не может быть, потому что тогда a6 тоже = 6, а все числа различны.
Значит, a5=5, a6=7. Тогда a1=1, a2=2, a3=3, a4=4, a5=5, a6=7, их среднее
(1+2+3+4+5+7)/6 = 22/6 = 11/3 < 4
Ответ: нет, не может.
в) Чтобы среднее арифметическое всех 10 чисел было максимальным,
и при этом соблюдались наши условия:
(a1+a2+a3+a4+a5+a6)/6 = 6
(a5+a6+a7+a8+a9+a10)/6 = 13
(a1+a2+ ... +a10) + (a5+a6) = 114
нужно взять максимальное a1. Как мы выяснили в п. а), максимальное a1 = 3.
Получаются числа: 3, 4, 5, 7, 8, 9, 12, 14, 17, 18.
Средние 6 чисел: (3+4+5+7+8+9)/6 = 6, (8+9+12+14+17+18)/6 = 13
Максимальное среднее 10 чисел: (3+4+5+7+8+9+12+14+17+18)/10 = 97/10 = 9,7

Answer 2

Давайте решим задачу поэтапно:

Пусть числа на доске упорядочены по возрастанию: a₁ < a₂ < ... < a₁₀.

Предположим, что среднее арифметическое шести меньших чисел равно 6. Тогда, сумма этих шести чисел равна 6 * 6 = 36. Аналогично, среднее арифметическое шести больших чисел равно 13, и сумма этих шести чисел равна 13 * 6 = 78.

a₁ + a₂ + ... + a₆ = 36 a₅ + a₆ + ... + a₁₀ = 78

Теперь рассмотрим заданные утверждения:

а) Может ли наименьшее из чисел быть 4? Предположим, что наименьшее число равно 4. Тогда, остальные пять чисел из шести меньших должны быть больше или равны 4 (так как все числа различны и натуральные). Таким образом, минимальная сумма этих шести чисел составит 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 39, что больше 36. Это невозможно, так как среднее арифметическое шести меньших чисел равно 6. Следовательно, наименьшее число не может быть 4.

б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел быть 10,2? Для того чтобы среднее арифметическое всех десяти чисел было 10,2, сумма всех десяти чисел должна быть равна 10,2 * 10 = 102. Так как наименьшее число не может быть 4 (см. пункт а), минимальное возможное наименьшее число равно 5. Максимальное возможное наибольшее число тоже будет 13 (так как среднее арифметическое шести больших чисел равно 13). Тогда, сумма шести меньших чисел равна 36, и сумма шести больших чисел равна 78 (см. предыдущие рассуждения).

5 + a₂ + ... + 13 = 78

Чтобы найти значение a₂, вычтем из 78 сумму чисел от 5 до 13 включительно:

a₂ + ... + 13 = 78 - (5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13) = 78 - 81 = -3

Таким образом, сумма пяти некоторых чисел от a₂ до 13 равна -3, что невозможно, так как все числа должны быть натуральными. Следовательно, среднее арифметическое всех десяти чисел не может быть 10,2.

в) Найдите максимальное среднее арифметическое. Максимальное среднее арифметическое достигается, когда шесть меньших чисел равны 5, 6, 7, 8, 9 и 10, а шесть больших чисел равны 10, 11, 12, 13, 14 и 15.

Таким образом, максимальное среднее арифметическое всех десяти чисел равно: (5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15) / 10 = 110 / 10 = 11.

Таким образом, максимальное среднее арифметическое всех десяти чисел равно 11.