Question

На доске написано более 45, но менее 63 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 5 , среднее арифметическое всех положительных из них равно 18, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно (-9) . а) Сколько чисел написано на доске? б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных? в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Answer 1

Пусть среди этих чисел p положительных, n отрицательных и z нулей.

а) сумма всех чисел равна 5 * (p + n + z), сумма положительных 18p, сумма отрицательных -9n, сумма нулей 0.
5(p + n + z) = 18p - 9n = 9(2p - n)

Правая часть равенства делится на 9, тогда и левая должна делиться на 9, т.е. количество всех чисел, равное (p + n + z), делится на 9. Если количество чисел больше 45 = 5 * 9 и меньше 63 = 7 * 9 и делится на 9, то оно равно 6 * 9 = 54.

б) 9(2p - n) = 5 * 54
2p - n = 30
n = 2p - 30

Так как всего чисел (с учетом нулей) 54, то n + p = 3p - 30 <= 54, откуда p <= 28. Значит, n - p = p - 30 < 0.

в) Уже показано выше, что p <= 28. Покажем, что значение 28 достигается.

Пусть на доске записано 28 чисел, равных 18, и 26 чисел, равных -9. Тогда среднее арифметическое положительных чисел равно 18, отрицательных -9, а всех чисел (28 * 18 - 9 * 26)/54 = 5.

Ответ. а) 54, б) положительных больше, в) 28.

Answer 2

а) Пусть на доске написано x целых чисел. По условию задачи, среднее арифметическое этих чисел равно 5. Тогда сумма всех чисел равна 5x.

б) Среднее арифметическое всех положительных чисел равно 18. Пусть y - количество положительных чисел на доске. Тогда сумма всех положительных чисел равна 18y.

Среднее арифметическое всех отрицательных чисел равно -9. Пусть z - количество отрицательных чисел на доске. Тогда сумма всех отрицательных чисел равна -9z.

Так как сумма всех чисел равна 5x, то 5x = 18y - 9z.

в) Наибольшее количество положительных чисел будет, если все остальные числа будут отрицательными. То есть, если z = x - y, то 5x = 18y - 9(x - y).

Упростим это уравнение: 5x = 18y - 9x + 9y.

14x = 27y.

Наибольшее количество положительных чисел будет, если x и y будут взаимно простыми числами. То есть, x = 27 и y = 14.

а) Чисел на доске: x + y + z = 27 + 14 + (27 - 14) = 54.

б) Поскольку наибольшее количество положительных чисел будет, если x и y будут взаимно простыми числами, то количество положительных чисел (y) будет больше количества отрицательных чисел (z).

Итак, на доске написано 54 числа, больше положительных чисел. Наибольшее количество положительных чисел - 14.