Question

Помогите решить 3 примера 1) 2sin^2 x - sin x cos x - cos^2 x = 0 2) sin 2x = 2 cos^2 x 3) cos4x + cos x = 0

Answer 1

такие уравнения можно решить через онлайн калькулятор

Answer 2

Давайте решим каждый из примеров по порядку:

1. 2sin^2(x) - sin(x)cos(x) - cos^2(x) = 0

Заметим, что у нас есть сумма и разность двух квадратов:

2sin^2(x) - sin(x)cos(x) - cos^2(x) = sin^2(x) + sin^2(x) - sin(x)cos(x) - cos^2(x) = sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) + sin^2(x) = (sin(x) - cos(x))^2 = 0

Теперь приравняем получившееся к нулю и решим уравнение:

sin(x) - cos(x) = 0

Теперь можем решить уравнение относительно sin(x) или cos(x). Допустим, решим относительно sin(x):

sin(x) = cos(x)

Теперь разделим обе части на cos(x):

tan(x) = 1

Теперь найдем все значения x, которые удовлетворяют уравнению tan(x) = 1. Возможные значения x: x = π/4 + πn, где n - целое число.

2. sin(2x) = 2cos^2(x)

Мы знаем тригонометрическую идентичность: sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Подставим ее в уравнение:

2sin(x)cos(x) = 2cos^2(x)

Теперь у нас есть квадратное уравнение:

2sin(x)cos(x) - 2cos^2(x) = 0

2cos(x)[sin(x) - cos(x)] = 0

Таким образом, у нас есть два уравнения:

1. 2cos(x) = 0, что дает cos(x) = 0. Возможные значения x: x = π/2 + πn, где n - целое число.

2. sin(x) - cos(x) = 0, что мы уже решили в предыдущем примере. Решением этого уравнения также являются значения x = π/4 + πn.

3. cos(4x) + cos(x) = 0

Для решения этого уравнения обратимся к формуле для суммы и разности косинусов:

cos(A) + cos(B) = 2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)

В нашем уравнении:

cos(4x) + cos(x) = 2cos((4x+x)/2)cos((4x-x)/2)

= 2cos(5x/2)cos(3x/2)

Теперь уравнение выглядит следующим образом:

2cos(5x/2)cos(3x/2) = 0

Теперь у нас есть два уравнения:

1. 2cos(5x/2) = 0, что дает cos(5x/2) = 0. Возможные значения x: x = π/2 + 2πn, где n - целое число.

2. cos(3x/2) = 0, что дает два возможных значения x: x = π/2 + 2πn и x = 3π/2 + 2πn, где n - целое число.

Таким образом, мы решили все три уравнения и нашли значения x, которые удовлетворяют каждому из них.