Question

Сколько существует пятизначных натуральных чисел, в которых хотя бы одна из последних четырёх цифр не меньше предыдущей?

Answer 1

Рассмотрим пятизначное число abcde, в котором a>b>c>d>e, иначе говоря все цифры расположены в порядке убывания. Если из всех пятизначных чисел вычесть количество указанных чисел, то получится количество чисел с нужным свойством (т.е где хотя бы одно из неравенств нарушено).
Найдем количество пятизначных чисел, где a>b>c>d>e. Возьмем 10 цифр и расположим их в порядке убывания: 9,8,7,6,5,4,3,2,1,0. Вычеркивая любые пять из них, будем получать нужное число. Таких чисел  $C_{10}^{5}$; Всего пятизначных чисел 9*10⁴; Отсюда находим ответ:  $9\times10^{4}-C_{10}^{5}=89748$

Answer 2

Для определения количества пятизначных натуральных чисел, в которых хотя бы одна из последних четырех цифр не меньше предыдущей, давайте рассмотрим все возможные случаи.

1. Последние четыре цифры являются одинаковыми: В этом случае у нас есть 10 возможных вариантов (от 0000 до 9999), так как первая цифра может быть любой от 1 до 9, а последние четыре могут быть от 0 до 9.

2. Последние три цифры одинаковы, а четвертая меньше: Для этого у нас есть 9 возможных вариантов (от 1000 до 9000). Первая цифра может быть от 1 до 9, последняя от 0 до 9, а третья и вторая цифры будут равны последней, но меньше первой.

3. Последние две цифры одинаковы, а третья и четвертая меньше: Здесь также 9 возможных вариантов (от 1100 до 9900). Первая цифра может быть от 1 до 9, последние две от 00 до 99.

4. Последняя цифра меньше предпоследней: В этом случае у нас есть 9 возможных вариантов (от 12340 до 98760). Первая цифра может быть от 1 до 9, последняя от 0 до 9, и последние три цифры будут от 000 до 999.

Теперь сложим все возможные варианты: 10 + 9 + 9 + 9 = 37

Итак, существует 37 пятизначных натуральных чисел, в которых хотя бы одна из последних четырех цифр не меньше предыдущей.