Question

Найдите наибольшее значение функции! 12cosx-(42/pi)x+10 на отрезке -2pi/3;0

Answer 1

$y=12cosx - \frac{42}{ \pi } x+10 \\ y' = -12sinx - \frac{42}{ \pi } \\ y' =0 \ \Leftrightarrow -12sinx - \frac{42}{ \pi } =0 \\ sin\ x = - \frac{7}{ 2\pi }\\ - \frac{7}{ 2\pi } \ \textless \ -1$
решений нет ⇒ точек, подозрительных на экстремум, внутри отрезка  $[- \frac{2 \pi }{3} ;0]$ нет.
$y(0)=12cos0 - \frac{42}{ \pi } *0+10 = 12+10=22\\ y( -\frac{2 \pi }{3} )=12cos( -\frac{2 \pi }{3} ) - \frac{42}{ \pi } *( -\frac{2 \pi }{3} )+10 = -6+28+10=32$
Ответ: 32 - наибольшее на отрезке.

Answer 2

Чтобы найти наибольшее значение функции $f(x) = 12\cos x - \frac{42}{\pi}x + 10$ на отрезке $-\frac{2\pi}{3} \leq x \leq 0$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции $f'(x)$.
2. Найдите критические точки, т.е. значения $x$, для которых $f'(x) = 0$ или $f'(x)$ не существует.
3. Проверьте значения $f(x)$ в этих критических точках и на границах отрезка $-\frac{2\pi}{3}$ и $0$.
4. Найдите наибольшее значение функции.

Шаг 1: Для начала найдем производную $f'(x)$ функции $f(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx}\left(12\cos x - \frac{42}{\pi}x + 10\right).$

Производная суммы равна сумме производных, поэтому: $f'(x) = \frac{d}{dx}\left(12\cos x\right) - \frac{d}{dx}\left(\frac{42}{\pi}x\right) + \frac{d}{dx}\left(10\right).$

Производные элементарных функций: $\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x, \quad \frac{d}{dx}(x) = 1, \quad \frac{d}{dx}(c) = 0 \text{ (где } c \text{ - константа)}.$

Теперь вычислим производную $f'(x)$: $f'(x) = -12\sin x - \frac{42}{\pi}.$

Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв производную $f'(x)$ к нулю и решив уравнение: $f'(x) = -12\sin x - \frac{42}{\pi} = 0.$

Шаг 3: Теперь найдем значения функции $f(x)$ в критических точках и на границах отрезка $-\frac{2\pi}{3}$ и $0$.

а) Критические точки: Для критических точек: $-12\sin x - \frac{42}{\pi} = 0.$

$-12\sin x = \frac{42}{\pi}.$

$\sin x = -\frac{7}{2\pi}.$

Это уравнение не имеет решений на отрезке $-\frac{2\pi}{3} \leq x \leq 0$, так как значение $-\frac{7}{2\pi}$ выходит за пределы интервала $[-1, 1]$, которому принадлежат значения синуса.

б) Границы отрезка: Для $x = -\frac{2\pi}{3}$: $f\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = 12\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) - \frac{42}{\pi}\left(-\frac{2\pi}{3}\right) + 10.$

Используем то, что $\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$