Question

Вычислить площадь криволинейной трапеции: y=4-x^2, y=x^2-2*x.

Answer 1

________________________________________

Answer 2

Чтобы вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной двумя кривыми, нужно сначала найти точки их пересечения. Затем провести вертикальные отрезки между кривыми в этих точках и рассчитать интеграл для определения площади между кривыми.

Шаг 1: Найдем точки пересечения двух кривых, приравняв y и решив уравнение:

4 - x^2 = x^2 - 2x

Переносим все в одну часть уравнения:

2x^2 - 2x - 4 = 0

Шаг 2: Решим квадратное уравнение:

Для этого воспользуемся формулой дискриминанта D = b^2 - 4ac, где у нас есть уравнение вида ax^2 + bx + c = 0.

a = 2, b = -2, c = -4

D = (-2)^2 - 4 * 2 * (-4) = 4 + 32 = 36

Теперь найдем корни уравнения:

x = (-b ± √D) / 2a x = (2 ± √36) / 4 x = (2 ± 6) / 4

Таким образом, получаем два значения x: x1 = 2 и x2 = -1.

Шаг 3: Найдем соответствующие значения y для каждого из x, используя уравнения кривых.

Для y=4-x^2: y1 = 4 - (2)^2 = 4 - 4 = 0 y2 = 4 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3

Для y=x^2-2x: y1 = (2)^2 - 2(2) = 4 - 4 = 0 y2 = (-1)^2 - 2*(-1) = 1 + 2 = 3

Теперь у нас есть две точки пересечения: (2, 0) и (-1, 3).

Шаг 4: Вычислим площадь между кривыми с помощью интеграла:

Площадь = ∫[a, b] |f(x) - g(x)| dx, где a и b - координаты точек пересечения, f(x) и g(x) - функции кривых.

Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна:

Площадь = ∫[-1, 2] |(4 - x^2) - (x^2 - 2x)| dx

Площадь = ∫[-1, 2] |4 - x^2 - x^2 + 2x| dx

Площадь = ∫[-1, 2] |4 - 2x^2 + 2x| dx

Площадь = ∫[-1, 2] |-2x^2 + 2x + 4| dx

Теперь разобьем интеграл на две части, так как у нас есть модуль:

Площадь = ∫[-1, 0] (-2x^2 + 2x + 4) dx + ∫[0, 2] (-2x^2 + 2x + 4) dx

Шаг 5: Вычислим интегралы:

∫[-1, 0] (-2x^2 + 2x + 4) dx = [-2*(x^3)/3 + (x^2) + 4x]_(-1)^0

= [-2*(0^3)/3 + (0^2) + 40] - [-2((-1)^3)/3 + ((-1)^2) + 4*(-1)]

= 0 - [(-2)/3 + 1 - 4]

= -2/3 - 3/3 + 12/3

= 7/3

∫[0, 2] (-2x^2 + 2x + 4) dx = [-2*(x^3)/3 + (x^2) + 4x]_0^2

= [-2*(2^3)/3 + (2^2) + 42] - [-2(0^3)/3 + (0^2) + 4*0]

= [-2*(8)/3 + 4 + 8] - [0]

= -16/3 + 12

= 4/3

Шаг 6: Наконец, сложим площади двух частей трапеции:

Площадь = ∫[-1, 0] (-2x^2 + 2x + 4) dx + ∫[0, 2] (-2x^2 + 2x + 4) dx

Площадь = 7/3 + 4/3

Площадь = 11/3

Таким образом, площадь криволинейной трапеции ограниченной кривыми y=4-x^2 и y=x^2-2*x равна 11/3 или около 3.67 квадратных единицы.