Question

Діагональ правильної чотирикутної призми рівна 35 см, а діагональ бічної грані 25 см. Знайти об'єм призми

Answer 1

Сторона основания а
Высота h
Диагональ боковой грани по т. Пифагора
25² = a² + h²
Пространственная диагональ
35² = a² + a² + h²
---
35² - 25² = a²
(35 + 25)(35 - 25) = a²
60*10 = a²
a² = 600
а = 10√6 см
---
25² = (10√6)² + h²
625 = 600 + h²
h² = 25
h = 5 см
Объём
V = a²h = 600*5 = 3000 см³

Answer 2

Для знаходження об'єму правильної чотирикутної призми, нам знадобиться довжина діагоналі бази та діагоналі бічної грані.

Діагональ бази (прямокутника) — це відрізок, який з'єднує дві протилежні вершини прямокутника. Задача полягає у тому, щоб знайти довжину діагоналі бази (AB) і діагоналі бічної грані (BC).

У правильній чотирикутній призмі бічні грані є прямокутниками, тому можемо скористатися теоремою Піфагора для знаходження довжини бокової грані (BC):

$BC^2 = AB^2 + AC^2$

Діагональ бази (AB) має довжину 35 см, а діагональ бічної грані (BC) має довжину 25 см.

$BC^2 = 35^2 + 25^2$ $BC^2 = 1225 + 625$ $BC^2 = 1850$

Тепер знайдемо довжину діагоналі бічної грані (BC):

$BC = \sqrt{1850} \approx 43.01 \, \text{см}$

Тепер, коли ми знаємо довжини діагоналі бази і бічної грані, можемо обчислити об'єм правильної чотирикутної призми за формулою:

$V = \frac{1}{3} \times (\text{Площа бази}) \times \text{Висота}$

Оскільки призма правильна, то її база - квадрат, тому площа бази дорівнює $S_{\text{бази}} = a^2$, де $a$ - довжина сторони бази. Так як діагональ бази має довжину 35 см, то сторона $a$ становитиме половину діагоналі бази: $a = \frac{35}{2} = 17.5$ см.

Тепер обчислимо висоту призми. Для цього скористаємося трикутником, що утворений діагоналлю бічної грані (BC), висотою призми (h) і половиною сторони бази (17.5 см). Висоту можна знайти за теоремою Піфагора:

$BC^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2$

$h^2 = BC^2 - (\frac{a}{2})^2$

$h^2 = 43.01^2 - 17.5^2$

$h^2 = 1850.2601 - 306.25$

$h^2 = 1544.0101$

$h \approx \sqrt{1544.0101} \approx 39.29 \, \text{см}$

Тепер маємо всі необхідні величини, тож обчислимо об'єм призми:

$V = \frac{1}{3} \times S_{\text{бази}} \times h = \frac{1}{3} \times 17.5^2 \times 39.29 \approx 2545.4 \, \text{см}^3$

Отже, об'єм правильної чотирикутної призми приблизно 2545.4 кубічних сантиметрів.