Question

1)Исследовать на экстремум функцию y=x^3-3x^2-9x-4.Указать промежутки монотонности функции. 2) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2+1,y=0 x=1, x=2

Answer 1

Ответ в фото .........

Answer 2

Для задачи №1 нам нужно найти экстремумы функции y = x^3 - 3x^2 - 9x - 4 и определить промежутки монотонности.

1. Найдем производную функции y по x: y'(x) = d/dx(x^3 - 3x^2 - 9x - 4) y'(x) = 3x^2 - 6x - 9

2. Найдем точки, в которых производная равна нулю (критические точки): 3x^2 - 6x - 9 = 0 x^2 - 2x - 3 = 0 (x - 3)(x + 1) = 0

Таким образом, получаем две критические точки: x = 3 и x = -1.

3. Теперь найдем значения производной в интервалах между критическими точками и за пределами этих точек, чтобы определить монотонность на каждом промежутке.

Мы выберем тестовые точки для определения знаков производной: a) x = -2 (взяли значение между x = -1 и x = 3) b) x = 0 (взяли значение между x = -1 и x = 3) c) x = 4 (взяли значение больше x = 3)

Подставим эти значения x в производную y'(x): a) y'(-2) = 3(-2)^2 - 6(-2) - 9 = 12 - (-12) - 9 = 15 > 0 b) y'(0) = 3(0)^2 - 6(0) - 9 = 0 - 0 - 9 = -9 < 0 c) y'(4) = 3(4)^2 - 6(4) - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 > 0

Теперь можем сделать выводы:

1. Функция имеет локальный максимум в точке x = -1, так как перед критической точкой производная положительна, а после - отрицательна.
2. Функция имеет локальный минимум в точке x = 3, так как перед критической точкой производная отрицательна, а после - положительна.

Промежутки монотонности:

1. Функция возрастает на интервале (-∞, -1).
2. Функция убывает на интервале (-1, 3).
3. Функция возрастает на интервале (3, +∞).

Теперь перейдем к задаче №2, чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 + 1, y = 0, x = 1 и x = 2.

Сначала построим график функции y = x^2 + 1, чтобы увидеть, как она выглядит:

График функции y = x^2 + 1 выглядит как парабола, открывшаяся вверх и с вершиной в точке (0, 1). Мы должны найти площадь фигуры, заключенной между этой параболой и осями x и y, а также между вертикальными линиями x = 1 и x = 2.

Площадь фигуры равна сумме двух площадей: площади под параболой на интервале [1, 2] и площади между параболой и осью x на этом же интервале.

1. Найдем площадь под параболой на интервале [1, 2]: Площадь = ∫[1, 2] (x^2 + 1) dx Площадь = [x^3/3 + x] от 1 до 2 Площадь = [(2^3/3 + 2) - (1^3/3 + 1)] Площадь = [(8/3 + 2) - (1/3 + 1)] Площадь = [(8/3 + 6/3) - (1/3 + 3/3)] Площадь = (14/3) - (4/3) Площадь = 10/3

2. Найдем площадь между параболой и осью x на интервале [1, 2]: Площадь = ∫[1, 2] |(x^2 + 1)| dx Площадь = [x^3/3 + x] от 1 до 2 Площадь = [(2^3/3 + 2) - (1^3/3 + 1)] Площадь = [(8/3 + 2) - (1/3 + 1)] Площадь = [(8/3 + 6/3) - (1/3 + 3/3)] Площадь = (14/3) - (4/3) Площадь = 10/3

Теперь сложим эти две площади: Площадь фигуры = Площадь под параболой + Площадь между параболой и осью x Площадь фигуры = 10/3 + 10/3 Площадь фигуры = 20/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 + 1, y = 0, x = 1 и x = 2, равна 20/3 (или приближенно 6.67).