Question

Найти частные производные 1-го и 2-го порядка для функции z=f (x, y) Z= ysin^2*2x

Answer 1

Решение во вложении.

Answer 2

Чтобы найти частные производные 1-го порядка для функции z=f(x, y) исходной функции Z=y*sin^2(2x), нужно продифференцировать её по переменным x и y.

Частная производная по x обозначается как ∂z/∂x, а по y - как ∂z/∂y.

1. Частная производная по x (∂z/∂x):

Для этого продифференцируем функцию Z по переменной x, считая y константой:

arduinoCopy code
∂z/∂x = ∂(y*sin^2(2x))/∂x

Для этого применим правило дифференцирования произведения и цепного правила:

scssCopy code
∂z/∂x = y * 2 * sin(2x) * cos(2x)
∂z/∂x = 2y * sin(2x) * cos(2x)

2. Частная производная по y (∂z/∂y):

Для этого продифференцируем функцию Z по переменной y, считая x константой:

arduinoCopy code
∂z/∂y = ∂(y*sin^2(2x))/∂y

Поскольку y находится в одночлене, его производная по y будет равна просто 1:

arduinoCopy code
∂z/∂y = 1 * sin^2(2x)
∂z/∂y = sin^2(2x)

Теперь найдем частные производные 2-го порядка:

3. Частная производная 2-го порядка по x (∂^2z/∂x^2):

Для этого продифференцируем полученное выражение для ∂z/∂x по переменной x:

scssCopy code
∂^2z/∂x^2 = ∂(2y*sin(2x)*cos(2x))/∂x

Снова применяем правило дифференцирования произведения и цепного правила:

scssCopy code
∂^2z/∂x^2 = 2y * (2*cos^2(2x) - 2*sin^2(2x))
∂^2z/∂x^2 = 2y * (2*cos^2(2x) - 2*(1 - cos^2(2x)))  # Используем тригонометрическое тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1
∂^2z/∂x^2 = 2y * (2*cos^2(2x) - 2 + 2*cos^2(2x))
∂^2z/∂x^2 = 2y * (4*cos^2(2x) - 2)
∂^2z/∂x^2 = 8y * cos^2(2x) - 4y

4. Частная производная 2-го порядка по y (∂^2z/∂y^2):

Поскольку частная производная ∂z/∂y не зависит от y, то её частная производная тоже будет равна нулю:

Copy code
∂^2z/∂y^2 = 0

5. Смешанная частная производная 2-го порядка (∂^2z/∂y∂x):

Теперь продифференцируем ∂z/∂y по переменной x:

arduinoCopy code
∂^2z/∂y∂x = ∂(sin^2(2x))/∂x

Продифференцируем sin^2(2x):

scssCopy code
∂^2z/∂y∂x = 2 * sin(2x) * cos(2x)

Таким образом, частные производные 1-го порядка имеют вид:

scssCopy code
∂z/∂x = 2y * sin(2x) * cos(2x)
∂z/∂y = sin^2(2x)

И частные производные 2-го порядка:

scssCopy code
∂^2z/∂x^2 = 8y * cos^2(2x) - 4y
∂^2z/∂y^2 = 0
∂^2z/∂y∂x = 2 * sin(2x) * cos(2x)