Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции: y=x²-2x+1 и графиком ее производной. Результат представьте различными способами.

Answer 1

Ловите 'два с половиной'=) (с учётом вычисления площади прямоугольника треугольника как половина ещё одного третьего варианта решения) способа. Абсциссы пересечения графиков можете найти просто: приравняв две функции к друг другу и решив квадратное уравнение. Удачи вам!

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции и графиком ее производной, необходимо найти точки пересечения этих двух графиков. Затем вычислить интеграл модуля разности между функциями в промежутках между этими точками. Это позволит нам найти абсолютное значение площади фигуры.

1. Найдем точки пересечения графиков функции и ее производной:

Функция: y = x² - 2x + 1 Производная: y' = 2x - 2

Для точек пересечения приравняем уравнения и решим уравнение: x² - 2x + 1 = 2x - 2

x² - 4x + 3 = 0

Факторизуем уравнение:

(x - 1)(x - 3) = 0

x₁ = 1 x₂ = 3

2. Вычислим интеграл модуля разности между функциями в промежутках [1, 3]:

Площадь = ∫(|(x² - 2x + 1) - (2x - 2)|) dx, где интегрирование происходит от x=1 до x=3.

Теперь вычислим этот интеграл в различных способах:

Способ 1: Площадь считается как абсолютное значение разности интегралов двух функций:

Площадь = |∫(x² - 2x + 1) dx - ∫(2x - 2) dx|, где интегрирование происходит от x=1 до x=3.

∫(x² - 2x + 1) dx = (x³/3 - x² + x) |[1, 3] = [(3³/3 - 3² + 3) - (1³/3 - 1² + 1)] = (9 - 9 + 3) - (1/3 - 1 + 1) = 3 - (1/3) = 8/3

∫(2x - 2) dx = x² - 2x |[1, 3] = [(3² - 2 * 3) - (1² - 2 * 1)] = (9 - 6) - (1 - 2) = 3 - (-1) = 4

Площадь = |(8/3) - 4| = |(8/3) - (12/3)| = |-4/3| = 4/3

Способ 2: Площадь считается как интеграл модуля разности между функциями:

Площадь = ∫(|(x² - 2x + 1) - (2x - 2)|) dx, где интегрирование происходит от x=1 до x=3.

∫(|(x² - 2x + 1) - (2x - 2)|) dx = ∫(|x² - 4x + 3|) dx, где интегрирование происходит от x=1 до x=3.

Разобьем интеграл на два промежутка:

∫(|x² - 4x + 3|) dx = ∫(x² - 4x + 3) dx, где интегрирование происходит от x=1 до x=3, так как в этом промежутке выражение x² - 4x + 3 положительно.

∫(x² - 4x + 3) dx = (x³/3 - 2x² + 3x) |[1, 3] = [(3³/3 - 2 * 3² + 3 * 3) - (1³/3 - 2 * 1² + 3 * 1)] = (9 - 18 + 9) - (1/3 - 2 + 3) = 0

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=x²-2x+1 и графиком ее производной, равна 4/3 квадратных единиц.