Question

Монету подбрасывают 8 раз. Найдите вероятность того, что герб выпадет не больше одного раза.

Answer 1

Количество все возможных исходов: $2^8$ из них есть благоприятствующие исходы, исходы в котором из 8 подбрасывания монеты выпадет герб не больше одного раза:

$\left.\begin{matrix} \{ \Gamma ,~P,~P,~P,~P,~P,~P,~P\} \\ \{ P ,~\Gamma,~P,~P,~P,~P,~P,~P\} \\ \{ P ,~P,~\Gamma,~P,~P,~P,~P,~P\} \\ ...~~~...~~~... \\ \{ P ,~P,~P,~P,~P,~P,~P,~\Gamma\} \\ \{ P ,~P,~P,~P,~P,~P,~P,~P\} \end{matrix}\right\}\,\,9$   - благоприятных исходов

Искомая вероятность: $P=\displaystyle \frac{9}{2^8}\approx 0.035$

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть последовательность независимых испытаний (подбрасывание монеты), каждое из которых имеет два возможных исхода (герб или решка).

Вероятность того, что герб выпадет ровно k раз в серии из n испытаний, задается формулой биномиального распределения:

P(k; n, p) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k)

где: P(k; n, p) - вероятность, что герб выпадет k раз в серии из n испытаний, C(n, k) - число сочетаний из n по k (также известное как биномиальный коэффициент), p - вероятность выпадения герба в одном испытании, (1 - p) - вероятность выпадения решки в одном испытании.

В данной задаче p = 0.5 (вероятность выпадения герба равна вероятности выпадения решки при честной монете).

Теперь найдем вероятность того, что герб выпадет не больше одного раза (т.е., герб может выпасть ноль раз или один раз):

P(герб ≤ 1; 8, 0.5) = P(герб = 0; 8, 0.5) + P(герб = 1; 8, 0.5)

где: P(герб = 0; 8, 0.5) - вероятность, что герб не выпадет ни разу, P(герб = 1; 8, 0.5) - вероятность, что герб выпадет ровно один раз.

Вычислим каждую из этих вероятностей:

P(герб = 0; 8, 0.5) = C(8, 0) * 0.5^0 * (1 - 0.5)^(8 - 0) = 1 * 1 * 0.5^8 = 0.00390625

P(герб = 1; 8, 0.5) = C(8, 1) * 0.5^1 * (1 - 0.5)^(8 - 1) = 8 * 0.5 * 0.5^7 = 0.03125

Теперь сложим эти две вероятности:

P(герб ≤ 1; 8, 0.5) = 0.00390625 + 0.03125 ≈ 0.03515625

Таким образом, вероятность того, что герб выпадет не больше одного раза при восьми подбрасываниях монеты, составляет приблизительно 0.0352 или около 3.52%.