Question

Найти объем тела полученного вращением вокруг оси oy фигуры ограниченной линиями y^2-x^2=3, xy=2 (x,y>0) y=3

Answer 1

Решение во вложении.

Answer 2

Чтобы найти объем тела, полученного вращением фигуры вокруг оси Oy, можно воспользоваться методом цилиндрических оболочек. Для этого нужно сначала найти выражение для радиуса оболочки и вычислить интеграл для объема.

Дано: Фигура ограничена линиями:

1. $y^2 - x^2 = 3$,

2. $xy = 2$,

3. $y = 3$.

4. Найдем точки пересечения кривых $y^2 - x^2 = 3$ и $xy = 2$: Решим систему уравнений: $\begin{cases} y^2 - x^2 = 3 \\ xy = 2 \end{cases}$

Умножим второе уравнение на $y$: $y^2 = 2y$

Подставим это выражение в первое уравнение: $2y - x^2 = 3$

Теперь выразим $x^2$: $x^2 = 2y - 3$

Теперь найдем точки пересечения с $y = 3$: $x^2 = 2 \cdot 3 - 3 = 3$

Таким образом, у нас есть две точки пересечения:

1. $(x_1, y_1) = (\sqrt{3}, 3)$

2. $(x_2, y_2) = (-\sqrt{3}, 3)$

3. Найдем радиус оболочки для произвольного $y$ между $y = 3$ и $y = \sqrt{3}$.

Радиус оболочки - это расстояние от оси Oy до кривой $y^2 - x^2 = 3$ (может быть либо положительным, либо отрицательным).

Для этого решим уравнение $y^2 - x^2 = 3$ относительно $x^2$: $x^2 = y^2 - 3$

Теперь выразим $x$ через $y$ (учтем, что $x > 0$): $x = \sqrt{y^2 - 3}$

Таким образом, радиус оболочки $r(y) = \sqrt{y^2 - 3}$.

3. Теперь можем вычислить объем тела с помощью интеграла:

Объем $V$ можно найти по формуле: $V = \int_{a}^{b} A(y) \, dy,$

где $A(y)$ - площадь поперечного сечения вращения фигуры в плоскости $y$ на расстоянии $y$ от оси Oy.

В данном случае $A(y)$ равно площади круга с радиусом $r(y) = \sqrt{y^2 - 3}$.

$A(y) = \pi \cdot (r(y))^2 = \pi \cdot (\sqrt{y^2 - 3})^2 = \pi \cdot (y^2 - 3).$

Теперь вычислим интеграл для объема:

$V = \int_{3}^{\sqrt{3}} \pi \cdot (y^2 - 3) \, dy.$

Вычислим интеграл:

$V = \pi \int_{3}^{\sqrt{3}} (y^2 - 3) \, dy = \pi \left[\frac{y^3}{3} - 3y\right]_{3}^{\sqrt{3}}.$