Question

СРОЧНО 30 БАЛЛОВ!!! ПОЖАЛУЙСТА 1)вычислить объем фигуры ограниченной линиями а) 4y=8x-x^24y=x+6Б) y=ln(x-2)y=2lnxВ) y=3x^2y=3x+72) вычислить объем тела образованного вращением вокруг оси Ох, фигуры ограниченной кривыми y=x, y=x^2

Answer 1

Ответ:

Найдем точку пересечения У1 и У2, решая уравнение у1=у2 ---> x1=-2, x2=2 Так как обе функции четные, их графики симметричны относительно оси У, поэтому V= удвоенному определенному интегралу от Pi*(y1-y2)^2dx в пределах от 0 до 2

Answer 2

Для вычисления объема фигур и тел, ограниченных заданными линиями и кривыми, вам нужно использовать соответствующие интегральные методы.

1. Вычисление объема фигур ограниченных линиями:

а) Для первой фигуры с линиями 4y = 8x - x^2 и 4y = x + 6, сначала найдем точки их пересечения. Для этого приравняем правые части уравнений:

8x - x^2 = x + 6

Теперь решим это уравнение:

x^2 - 7x + 6 = 0

(x - 6)(x - 1) = 0

x1 = 6 и x2 = 1

Теперь найдем соответствующие значения y:

Для уравнения 4y = 8x - x^2 при x = 6:

4y = 8 * 6 - 6^2

4y = 48 - 36

4y = 12

y = 3

Для уравнения 4y = x + 6 при x = 6:

4y = 6 + 6

4y = 12

y = 3

Итак, точка пересечения линий (6, 3).

Теперь нужно найти точки пересечения линий для уравнений в пунктах б) и в):

б) Для линий y = ln(x - 2) и y = 2lnx, нужно найти их пересечение:

ln(x - 2) = 2lnx

ln(x - 2) = ln(x^2)

x - 2 = x^2

x^2 - x + 2 = 0

Это уравнение не имеет рациональных корней, так что у нас нет точек пересечения линий. Значит, объем фигуры, ограниченной этими линиями, равен нулю.

в) Для линий y = 3x^2 и y = 3x + 7:

3x^2 = 3x + 7

3x^2 - 3x - 7 = 0

Используя квадратное уравнение, вы найдете значения x, а затем найдете соответствующие значения y.

Теперь, для вычисления объема каждой из этих фигур, вы можете использовать метод вращения вокруг оси Ох.

2. Вычисление объема тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми y = x и y = x^2:

Объем такого тела можно вычислить с использованием интеграла по следующей формуле:

V = π * ∫[a, b] (y^2 - x^2) dx

Где [a, b] - интервал, на котором находятся кривые y = x и y = x^2.

Сначала найдем точки их пересечения:

x = x^2

x^2 - x = 0

x(x - 1) = 0

x = 0 и x = 1

Итак, интервал [a, b] равен [0, 1].

Теперь подставим значения y = x и y = x^2 в формулу объема и проинтегрируем:

V = π * ∫[0, 1] (x^4 - x^2) dx

V = π * [x^5/5 - x^3/3] |[0, 1]

V = π * [(1/5 - 1/3) - (0)]

Теперь вычислите этот интеграл:

V = π * [(3/15 - 5/15)]

V = π * (-2/15)

V = -(2π/15)

Таким образом, объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми y = x и y = x^2, равен -(2π/15) кубических единиц.