Question

Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной кривыми y=x^2 и y=2/1+x^2

Answer 1

V = pi*int{a,b} (f^2(x)dx))
f(x) = e^x, f^2(x) = e^(2x)
a=0, b =1
V = pi*int{0,1} (e^(2x)dx)) = pi*e^(2x)/2 |{0,1} = pi*(e^(2*1)/2 + e^(2*0)/2) = pi*((e^2)/2 - 1) = (pi*e^2 - 2pi)/2

Answer 2

Для вычисления объема тела, образованного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной кривыми y=x^2 и y=2/1+x^2, мы можем воспользоваться методом цилиндрических оболочек.

Сначала нам необходимо найти точки пересечения кривых y=x^2 и y=2/1+x^2. Для этого приравняем уравнения к друг другу:

x^2 = 2/1+x^2

Умножим обе части уравнения на x^2, чтобы избавиться от дроби:

x^4 = 2 + x^2

Теперь выразим x^2:

x^4 - x^2 - 2 = 0

Это квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где a=1, b=-1, c=-2. Решим его с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac D = (-1)^2 - 4*1*(-2) D = 1 + 8 D = 9

Так как дискриминант больше нуля, у нас есть два корня:

x^2 = (1 + √9)/2 = (1 + 3)/2 = 2 и x^2 = (1 - √9)/2 = (1 - 3)/2 = -1

Таким образом, точки пересечения кривых находятся при x=√2 и x=-√2.

Теперь мы можем найти объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси OY, с помощью интеграла:

V = ∫[a, b] πy^2 dx

где a=-√2, b=√2, y=x^2 - (1+x^2) и π - число π.

Теперь вычислим интеграл:

V = ∫[-√2, √2] π(x^4 - 2x^2 + 1) dx V = π(1/5*x^5 - 2/3*x^3 + x) |[-√2, √2]

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

V = π(1/5*√2^5 - 2/3*√2^3 + √2) - π(1/5*(-√2)^5 - 2/3*(-√2)^3 + (-√2)) V = π(1/5*32√2 - 2/3*8√2 + √2) - π(1/5*(-32√2) + 2/3*8√2 - √2) V = π(32/5√2 - 16/3√2 + √2) - π(-32/5√2 + 16/3√2 - √2) V = π(32/5√2 - 16/3√2 + √2 + 32/5√2 - 16/3√2 + √2) V = π(64/5√2 - 32/3√2 + 2√2)

Таким образом, объем тела, образованного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной кривыми y=x^2 и y=2/1+x^2, равен 64/5π√2 - 32/3π√2 + 2π√2.

Answer 3

Для вычисления объема тела, образованного вращением фигуры вокруг оси OY, ограниченной кривыми y=x^2 и y=2/(1+x^2), мы можем использовать метод цилиндров равного объема.

Шаг 1: Найдите точки пересечения кривых

Сначала найдем точки пересечения кривых y=x^2 и y=2/(1+x^2). Для этого приравняем их друг к другу и решим уравнение:

x^2 = 2/(1+x^2)

Умножим обе части уравнения на (1+x^2), чтобы избавиться от знаменателя:

x^2(1+x^2) = 2

Раскроем скобки и приведем уравнение к виду квадратного уравнения:

x^4 + x^2 - 2 = 0

Решим это уравнение. Для удобства обозначим x^2 как t:

t^2 + t - 2 = 0

Факторизуем это квадратное уравнение:

(t + 2)(t - 1) = 0

Таким образом, получаем два значения для x^2: t = -2 и t = 1.

Найдем корни t:

t = -2, t = 1

Поскольку t = x^2, возможны два значения для x:

x = √(-2) = нет действительных корней (комплексные числа)

x = √1 = 1

Таким образом, точка пересечения кривых находится в x = 1.

Шаг 2: Найдите границы интегрирования

Чтобы найти границы интегрирования, мы должны определить, где y=x^2 и y=2/(1+x^2) ограничивают область вращения вокруг оси OY.

Поскольку y=x^2 является нижней кривой, а y=2/(1+x^2) - верхней кривой, границы интегрирования будут представлять собой x-координаты точек пересечения кривых.

Таким образом, границы интегрирования будут от x = 0 до x = 1.

Шаг 3: Запишите формулу для вычисления объема

Теперь, используя метод цилиндров равного объема, мы можем записать формулу для вычисления объема тела:

V = ∫[a, b] A(x) dx

где A(x) - площадь поперечного сечения в точке x.

Шаг 4: Вычислите площадь поперечного сечения

Площадь поперечного сечения в точке x будет равна разности площадей верхней и нижней кривых:

A(x) = π(y_верхняя^2 - y_нижняя^2)

Таким образом, площадь поперечного сечения будет:

A(x) = π((2/(1+x^2))^2 - (x^2)^2)

Шаг 5: Вычислите объем

Теперь мы можем вычислить объем, интегрируя площадь поперечного сечения по x от границ интегрирования [a, b]:

V = ∫[0, 1] π((2/(1+x^2))^2 - (x^2)^2) dx

Подставив значения границ интегрирования, мы получим окончательную формулу для вычисления объема тела:

V = ∫[0, 1] π((2/(1+x^2))^2 - (x^2)^2) dx

Теперь можно вычислить этот интеграл численно, используя методы численного интегрирования, такие как метод прямоугольников или метод трапеций.