Question

Владислав придумал, как защитить свой компьютер паролем из четырех цифр. ЗАДАЧА ПО ОЛИМПИАДНОЙ МАТЕМАТИКЕ! Владислав придумал, как защитить свой компьютер паролем из четырех цифр, но при этом не запоминать его. Он сделал так, чтобы каждый раз при входе появлялась подсказка к паролю из первых трех цифр, а четвертую надо написать такую, чтобы полученное число делилось на 9. Пароль меняется каждый день случайным образом и его можно ввести только один раз. Докажите, что если последняя цифра не 0, то Владислав всегда сможет войти в компьютер. Докажите, что можно убрать ограничение на последнюю цифру пароля в предыдущей задаче, если разрешить две попытки для ввода пароля.

Answer 1

доказательство: 9 число не двух значное значит всегда у нас найдётся цифра которая будет добавлять кратность 9  пример если у нас сумма 8 можно взять 1

Данезачто )

Answer 2

Защита компьютера паролем из четырех цифр

Владислав придумал систему защиты своего компьютера паролем из четырех цифр, при этом не запоминая его. Он сделал так, чтобы каждый раз при входе появлялась подсказка к паролю из первых трех цифр, а четвертую цифру нужно было написать так, чтобы полученное число делилось на 9. Пароль меняется каждый день случайным образом и его можно ввести только один раз.

Доказательство, что Владислав всегда сможет войти в компьютер, если последняя цифра не 0

Для доказательства этого утверждения, рассмотрим все возможные значения последней цифры пароля от 1 до 9.

1. Если последняя цифра пароля равна 1, то Владислав может выбрать любую цифру от 0 до 9 для первых трех цифр пароля, так как любое число, оканчивающееся на 1, делится на 9. Например, пароль может быть 1231, 4561, 7891 и т.д.

2. Аналогично, если последняя цифра пароля равна 2, Владислав может выбрать любую цифру от 0 до 9 для первых трех цифр пароля, так как любое число, оканчивающееся на 2, делится на 9. Например, пароль может быть 1232, 4562, 7892 и т.д.

3. Продолжая аналогично для всех оставшихся значений последней цифры пароля от 3 до 9, можно увидеть, что Владислав всегда сможет выбрать такие первые три цифры пароля, чтобы полученное число делилось на 9.

Таким образом, если последняя цифра пароля не равна 0, то Владислав всегда сможет войти в компьютер.

Удаление ограничения на последнюю цифру пароля при двух попытках ввода

Если разрешить две попытки для ввода пароля, то можно убрать ограничение на последнюю цифру пароля. В этом случае, Владислав может использовать первую попытку для ввода пароля, где последняя цифра равна 0. Если пароль не верный, то он может использовать вторую попытку для ввода пароля, где последняя цифра может быть любой. Таким образом, Владислав сможет успешно войти в компьютер, даже если последняя цифра пароля не делится на 9.

Примечание: Данное доказательство основано на предположении, что Владислав знает, что последняя цифра пароля не делится на 9. Если он не знает этого, то он может использовать первую попытку для ввода пароля с последней цифрой, которая делится на 9, и вторую попытку для ввода пароля с любой последней цифрой.