Question

Помогите В прямоугольном треугольнике ABC (угол C=90^,AB=13,AC=CB+7) проведена биссектриса CK.Найдите длину этой биссектрисы и радиус окружности,описанной около треугольника CKB

Answer 1

По теореме Пифагора

AB^2=AC^2+BC^2

13^2=(BC+7)^2+BC^2

2BC^2+14BC-120=0

BC^2+7BC-60=0

D=49-4*60=289

BC=(-7+17)/2=5 Второй корень уравнения отрицательный и не удовл. смыслу задачи.

AC=BC+7=5+7=12

Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

AK:KB=AC/BC

Пусть АК=х

KB=13-x

x:(13-x)=12:5

5x=12(13-x)

17x=156

x=156/17

Из прямоугольного треугольника АВС

cos∠A=AC/AB=12/13

cos∠A=sin∠B

По теореме косинусов из треугольника АСК:

CK^2=AC^2+AK^2-2AC·CK*cos∠A

CK^2=12^2+(156/17)^2-2·12·(156/17)

CK^2=(4166+24336-63648)/289

CK=48/17

Для нахождения радиуса описанной окружности применяем теорему синусов
a/sin∠A=b/sin∠B=c/sin∠С=2R

R=CK/2sin∠B)= (48/17):(24/13)=26/17

О т в е т. 48/17=12 целых 14/17; 26/17=1 целая 9/17

Answer 2

Для решения задачи вам потребуется применить некоторые свойства прямоугольных треугольников и биссектрис. Давайте последовательно решим задачу:

1. Найдем длину биссектрисы CK.
2. Найдем радиус окружности, описанной вокруг треугольника CKB.

Шаг 1: Найдем длину биссектрисы CK. Известно, что биссектриса треугольника делит противоположную ей сторону на отрезки пропорционально прилежащим сторонам. Поэтому мы можем воспользоваться этим свойством для нахождения длины CK.

Пусть CK = x (длина биссектрисы).

Тогда, согласно свойству биссектрисы, отношение длин отрезков, на которые она делит сторону AB, будет равно отношению длин прилежащих сторон треугольника:

CK/KB = AC/CB

Подставляем известные значения:

x / (x + 7) = 13 / CB

Теперь найдем длину CB (прилежащей стороны треугольника). По условию задачи, дано, что AC = CB + 7. Мы знаем, что AC = 13, поэтому:

CB + 7 = 13

CB = 13 - 7 CB = 6

Теперь, подставим найденное значение CB обратно в уравнение для нахождения длины биссектрисы:

x / (x + 7) = 13 / 6

Теперь решим уравнение:

6x = 13(x + 7)

6x = 13x + 91

7x = 91

x = 91 / 7

x ≈ 13

Ответ: Длина биссектрисы CK ≈ 13.

Шаг 2: Найдем радиус окружности, описанной вокруг треугольника CKB. Чтобы найти радиус окружности, описанной около треугольника CKB, нам нужно знать длины его сторон. У нас уже есть длины сторон CK и CB.

Для прямоугольных треугольников известно, что гипотенуза является диаметром описанной окружности. В данном случае, треугольник CKB прямоугольный с гипотенузой CK и катетом CB.

Теперь, найдем длину гипотенузы KB (KB = CB + CK):

KB = 6 + 13 KB = 19

Теперь радиус окружности, описанной вокруг треугольника CKB, равен половине длины гипотенузы KB:

Радиус окружности = KB / 2 Радиус окружности = 19 / 2 Радиус окружности ≈ 9.5

Ответ: Радиус окружности, описанной около треугольника CKB, ≈ 9.5.