Question

На доске написаны числа 1,2,…, 21. Можно стереть любые два числа и вместо них написать их разность. Может ли после нескольких операций на доске остаться только число 2? ПОМОГИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА!!!

Answer 1

Видим, что наш ряд состоит из десяти четных чисел и одиннадцати нечетных. Значит его сумма нечетна. При каждой операции мы удаляем какие-то два числа и записываем вместо них их разность. Т. е. вместо двух четных чисел записываем четное число, вместо двух нечетных чисел четное число и вместо одного четного и одного нечетного числа записываем нечетное число. Таким образом суммарная четность нашего ряда всегда сохраняется. А поскольку изначально сумма ряда была нечетной, то мы не сможем в результате таких операций получить в конце двойку.

Ответ: Не может.

Answer 2

Да, возможно получить число 2, используя описанные операции. Вот один из возможных способов достичь этого:

1. Начните с чисел от 1 до 21, записанных на доске.
2. Стереть числа 19 и 17, и написать их разность: 19 - 17 = 2.
3. Стереть числа 16 и 14, и написать их разность: 16 - 14 = 2.
4. Стереть числа 15 и 13, и написать их разность: 15 - 13 = 2.
5. Стереть числа 12 и 10, и написать их разность: 12 - 10 = 2.
6. Стереть числа 11 и 9, и написать их разность: 11 - 9 = 2.
7. Стереть числа 8 и 6, и написать их разность: 8 - 6 = 2.
8. Стереть числа 7 и 5, и написать их разность: 7 - 5 = 2.
9. Стереть числа 4 и 2, и написать их разность: 4 - 2 = 2.
10. Стереть числа 3 и 1, и написать их разность: 3 - 1 = 2.

После этих операций на доске останется только число 2.