Question

На доске написаны числа 1, 2,…,21. За одну операцию разрешается стереть два числа a и b и вместо них записать на доску число a+b-1. Что из перечисленного является инвариантом в задаче? А)Количество чисел на доске Б)Количество чисел после применения n операций, увеличенное на n В)Сумма чисел Г)Сумма чисел после применения n операций, увеличенная на n Д)Произведение чисел Е)Произведение чисел после применения n операций, увеличенное на n Какое число может быть записано на доске после применения 20 операций?

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Ответ: Г) (каждую операцию сумма уменьшается на 1)

1 + 2 + ... + 21 = 231 - исходная сумма

231 - 20 = 221 - сумма после 20 операций

т.к. останется только одно число, то это и есть 221

Answer 2

Для определения инварианта в этой задаче, нужно найти величину, которая не изменяется при каждой операции.

Инвариантом в данной задаче является "Сумма чисел".

Докажем это: Пусть у нас есть два числа a и b, и мы выполняем операцию стирания и записи нового числа a+b-1. После этой операции сумма всех чисел на доске изменится на (a+b-1) - (a+b) = -1. Таким образом, сумма всех чисел уменьшится на 1.

Теперь рассмотрим варианты из списка:

А) Количество чисел на доске: Нет, количество чисел уменьшится на 1 после каждой операции.

Б) Количество чисел после применения n операций, увеличенное на n: Нет, количество чисел также уменьшится на n после n операций.

Г) Сумма чисел: Да, это инвариант.

Д) Сумма чисел после применения n операций, увеличенная на n: Нет, сумма чисел уменьшится на n после n операций.

Е) Произведение чисел: Нет, произведение чисел также уменьшится после каждой операции.

Таким образом, правильный ответ - Г) Сумма чисел.

Чтобы определить, какое число может быть записано на доске после применения 20 операций, нужно рассмотреть числа от 1 до 21 и произвести 20 операций:

1+2-1=2 3+3-1=5 5+4-1=8 ... 37+39-1=75

Таким образом, после применения 20 операций на доске может быть число 75.