Question

Найти общее решение ДУ y’’-y’=e^(2x).sin(e^x)

Answer 1

я написал решение на листочке ===>>

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение выглядит как:

y'' - y' = e^(2x) * sin(e^x)

Для его решения, предположим, что y является линейной комбинацией двух функций: y = y1 + y2.

Шаг 1: Найдем общее решение однородного уравнения:

y'' - y' = 0

Аналогично предположим, что y1 является решением однородного уравнения, тогда:

y1'' - y1' = 0

Для упрощения уравнения, введем новую переменную z = y1', тогда:

y1'' - z = 0

Теперь решим это дифференциальное уравнение с помощью характеристического уравнения:

r^2 - 1 = 0

(r - 1)(r + 1) = 0

r = 1 или r = -1

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:

y1(x) = c1 * e^x + c2 * e^(-x)

где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Шаг 2: Найдем частное решение неоднородного уравнения:

Ищем частное решение в виде y2 = A * e^(2x) * sin(e^x), где A - константа, которую нужно определить.

Теперь вычислим производные:

y2' = (A * e^(2x) * sin(e^x))' = A * (2e^(2x) * sin(e^x) + e^(2x) * cos(e^x))

y2'' = (A * (2e^(2x) * sin(e^x) + e^(2x) * cos(e^x)))' = A * (4e^(2x) * sin(e^x) + 4e^(2x) * cos(e^x) + e^(2x) * cos(e^x) - e^(2x) * sin(e^x))

Теперь подставим y2 и его производные в исходное уравнение:

y2'' - y2' = A * (4e^(2x) * sin(e^x) + 4e^(2x) * cos(e^x) + e^(2x) * cos(e^x) - e^(2x) * sin(e^x)) - A * (2e^(2x) * sin(e^x) + e^(2x) * cos(e^x)) = A * (3e^(2x) * sin(e^x) + 3e^(2x) * cos(e^x)).

Теперь приравниваем это к правой части исходного уравнения:

A * (3e^(2x) * sin(e^x) + 3e^(2x) * cos(e^x)) = e^(2x) * sin(e^x).

Отсюда получаем:

A = 1/3

Таким образом, частное решение:

y2(x) = (1/3) * e^(2x) * sin(e^x)

Шаг 3: Общее решение исходного неоднородного уравнения:

Общее решение исходного уравнения y(x) = y1(x) + y2(x):

y(x) = c1 * e^x + c2 * e^(-x) + (1/3) * e^(2x) * sin(e^x)

где c1 и c2 - произвольные постоянные.