Question

На доске в ряд поставлены 2018 точек. Миша и Лёша по очереди стирают одну или две соседних точки (Миша ходит первым). Выигрывает тот, кто стирает последнюю точку. Лёша утверждает, что он придумал для себя беспроигрышную стратегию. Прав ли Лёша? Помогите пожалуйста!!!!!

Answer 1

Докажем, что стратегия есть у Миши. Сотрём первым ходом две средние точки (1009 и 1010), а после этого будем симметрично отвечать на ходы Лёши. Так как после каждого хода Миши ряд будет симметричен, а после хода Лёши - нет, то победит Миша, так как конечная ситуация симметрична.

Ответ: не прав.

Answer 2

Давайте разберем эту задачу и определим, есть ли у Лёши беспроигрышная стратегия.

Изначально на доске стоит 2018 точек. Миша ходит первым. Оба игрока будут стремиться сделать так, чтобы после каждого хода на доске оставалось четное количество точек. Почему так? Потому что если на доске останется четное количество точек, то первый игрок всегда сможет сделать такой ход, чтобы снова оставалось четное количество точек, и таким образом, он оставит Лёшу с последним ходом и выиграет.

Исходная ситуация - 2018 точек (четное число), поэтому у Миши всегда есть возможность сделать такой ход, чтобы на доске осталось четное количество точек. Например, он может стереть две соседние точки, останется 2016 точек (четное число).

Теперь предположим, что Лёша может применить свою "беспроигрышную стратегию" и всегда оставлять на доске четное количество точек.

После каждого хода Лёши на доске будет четное количество точек. Так как изначально было 2018 точек (число четное), то после каждого хода Лёши число точек на доске останется четным.

Когда на доске останется две точки (четное число), Миша сможет стереть обе точки (1 ход), и на доске не останется ни одной точки, что означает победу Миши.

Итак, Лёша не может иметь беспроигрышную стратегию, и Миша всегда может выиграть при правильной игре.

Вердикт: Лёша неправильно утверждает, что у него есть беспроигрышная стратегия. При правильной игре Миша всегда выигрывает.