Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=1/x, y=x/4, x=1 СРОЧНО

Answer 1

Точки пересечения:

$\frac{1}{x}=\frac{x}{4}\; \; \to \; \; x^2=4\; ,\; \; x=\pm 2\\\\y=\frac{1}{x}\; ,\; \; x=1\; \; \to \; \; y=\frac{1}{1}=1$

$S=\int \limits _1^2\, (\frac{1}{x}-\frac{x}{4})\, dx=(ln|x|-\frac{x^2}{4\cdot 2})\Big |_1^2=(ln2-\frac{1}{2})-(ln1-\frac{1}{8})=\\\\=ln2-\frac{1}{2}+\frac{1}{8}=ln2-\frac{3}{8}$

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями y=1/x, y=x/4 и x=1, мы должны вычислить интеграл двух функций и вычислить разность между ними.

Первый шаг - найти точки пересечения этих функций. Для этого приравняем функции друг к другу:

1/x = x/4

Чтобы избежать деления на ноль, перемножим обе части на x:

x^2 = 4

Теперь находим x:

x = ±√4

x = ±2

Таким образом, точки пересечения - (2, 1/2) и (-2, -1/2).

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями, нужно вычислить два интеграла. Для удобства интегрирования, обратим внимание, что область симметрична относительно оси y, поэтому мы можем сосредоточиться на положительной части, а затем удвоить результат.

Для первой части фигуры (между x=1 и x=2):

Площадь = ∫[1 to 2] (1/x - x/4) dx

Для второй части фигуры (между x=-2 и x=-1):

Площадь = ∫[-2 to -1] (x/4 - 1/x) dx

Теперь вычислим интегралы:

∫(1/x - x/4) dx = ln|x| - x^2/8 + C1

∫(x/4 - 1/x) dx = x^2/8 - ln|x| + C2

Теперь подставим пределы интегрирования и найдем разность:

Для первой части фигуры:

Площадь1 = (ln|2| - 2^2/8) - (ln|1| - 1^2/8) = (ln2 - 1/2) - 0 = ln2 - 1/2

Для второй части фигуры:

Площадь2 = (-(-ln|2| + 2^2/8)) - (-(-ln|1| + 1^2/8)) = (ln2 - 1/2) - 0 = ln2 - 1/2

Теперь удвоим полученные значения, так как фигура симметрична:

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y=1/x, y=x/4 и x=1, равна:

Площадь = 2 * (ln2 - 1/2) ≈ 1.386 - 0.5 ≈ 0.886 (приблизительно).

Полученный ответ - 0.886 квадратных единиц.