Question

Составить каноническое уравнение поверхности второго порядка 1. 4x^2+y^2-2z^2-12z-18=0

Answer 1

Делим уравнение на 2. Получаем

2x^2+(1/2)y^2-z^2-6z-9=0.

2x^2+(1/2)y^2-(z+3)^2=0.

Окончательно получаем:

x^2/(1/2)+y^2/(2)-(z+3)^2=0.

Answer 2

Чтобы составить каноническое уравнение поверхности второго порядка, необходимо привести уравнение к стандартному виду, в котором отсутствуют кросс-члены (xy, xz, yz) и каждый квадратичный член имеет коэффициент 1 или -1.

Для начала преобразуем данное уравнение:

4x^2 + y^2 - 2z^2 - 12z - 18 = 0

Для того чтобы привести его к стандартному виду, выполним следующие шаги:

1. Группируем переменные x, y и z в соответствующих членах:

(4x^2 + y^2) - (2z^2 + 12z) - 18 = 0

2. Завершим квадратичные члены по переменным x и z:

4(x^2 + (1/4)y^2) - 2(z^2 + 6z) - 18 = 0

3. Добавим константы внутри скобок для завершения квадратичных членов по переменным x и z:

4(x^2 + (1/4)y^2 + ____ ) - 2(z^2 + 6z + ____ ) - 18 = 0

4. Чтобы завершить квадратичные члены по переменным x и z, необходимо добавить соответствующие значения, которые будут равны квадратам половины коэффициентов при x и z:

4(x^2 + (1/4)y^2 + (1/2)^2 ) - 2(z^2 + 6z + (6/2)^2 ) - 18 = 0

5. Упростим выражение:

4(x^2 + (1/4)y^2 + 1/4) - 2(z^2 + 6z + 9) - 18 = 0

6. Для того чтобы завершить квадратичные члены, вычтем из обеих сторон уравнения 41/4 и 29:

4(x^2 + (1/4)y^2 + 1/4) - 2(z^2 + 6z + 9) - 18 - 1 - 18 = 0 - 1 - 18

4(x^2 + (1/4)y^2 + 1/4) - 2(z^2 + 6z + 9) - 37 = -19

7. Перенесем константу на правую сторону:

4(x^2 + (1/4)y^2 + 1/4) - 2(z^2 + 6z + 9) = -19 + 37

4(x^2 + (1/4)y^2 + 1/4) - 2(z^2 + 6z + 9) = 18

8. Чтобы привести уравнение к стандартному виду, поделим обе стороны на 18:

(x^2 + (1/4)y^2 + 1/4) / 18 - (z^2 + 6z + 9) / 9 = 1

Таким образом, каноническое уравнение поверхности второго порядка заданной поверхности:

(x^2 + (1/4)y^2 + 1/4) / 18 - (z^2 + 6z + 9) / 9 = 1