Question

Составить каноническое уравнение гиперболы, действительная полуось которой равна 3, а эксцентриситет=5/3. Составить каноническое уравнение эллипса, сумма полуосей которого равна 8 и расстояние между фокусами=8

Answer 1

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
где а - действительная полуось гиперболы, b - мнимая полуось гиперболы.
Действительную полуось мы знаем, найдём мнимую из уравнения эксцентриситета:
$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\\\sqrt{1+\frac{b^2}9}=\frac53\\1+\frac{b^2}9=\frac{25}9\\\frac{b^2}9=\frac{16}{9}\\b^2=16\\b=4$
$\frac{x^2}9-\frac{y^2}{16}=1$ - искомое уравнение.

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\;a+b=8,\;2c=8\Rightarrow c=4\\\\\begin{cases}a+b=8\\a^2=b^2+c^2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a=8-b\\(8-b)^2=b^2+16\end{cases}\\(8-b)^2=b^2+16\\64-16b+b^2=b^2-16\\16b=80\\b=5\\\begin{cases}a=3\\b=5\end{cases}$
$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$ - искомое уравнение.

Answer 2

Для начала составим каноническое уравнение гиперболы. Уравнение гиперболы имеет вид: \[\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\] где \(a\) и \(b\) - полуоси гиперболы.

Для данной гиперболы из условия известно, что действительная полуось равна 3, то есть \(a = 3\), и эксцентриситет равен \(\frac{5}{3}\), то есть \(e = \frac{5}{3}\). Эксцентриситет связан с полуосями гиперболы следующим образом: \(e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}\). Подставив известные значения, получим: \[\left(\frac{5}{3}\right)^2 = 1 + \frac{b^2}{3^2}\] \[\frac{25}{9} - 1 = \frac{b^2}{9}\] \[\frac{16}{9} = \frac{b^2}{9}\] \[b^2 = 16\]

Теперь, зная значения полуосей, можем записать каноническое уравнение гиперболы: \[\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\]

Теперь составим каноническое уравнение эллипса. Уравнение эллипса имеет вид: \[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\] где \(a\) и \(b\) - полуоси эллипса.

Из условия известно, что сумма полуосей равна 8, то есть \(a + b = 8\), и расстояние между фокусами равно 8, то есть \(2c = 8\), где \(c\) - расстояние от центра эллипса до фокуса. Так как \(c = \sqrt{a^2 - b^2}\), то из уравнения \(2c = 8\) можем выразить \(c\): \[c = 4\]

Теперь можем составить систему уравнений: \[\begin{cases} a + b = 8 \\ a^2 - b^2 = 16 \end{cases}\]

Решив эту систему, найдем значения полуосей: \[a = 4 + \sqrt{16 + b^2}\] \[b = 4 - \sqrt{16 + b^2}\]

Подставим найденные значения в уравнение эллипса: \[\frac{x^2}{(4 + \sqrt{16 + b^2})^2} + \frac{y^2}{(4 - \sqrt{16 + b^2})^2} = 1\]

Таким образом, каноническое уравнение эллипса имеет вид: \[\frac{x^2}{(4 + \sqrt{16 + b^2})^2} + \frac{y^2}{(4 - \sqrt{16 + b^2})^2} = 1\]