Question

Со статистических данных известно, что вероятность заболеть гриппом во время эпидемии для каждого лица равняется 0,1. Какая вероятность того что из 100 проверенных лиц больными окажутся от 20 до 30 лиц.

Answer 1

Вероятность заболеть гриппом во время эпидемии для каждого события:

p = 0.1

q = 1 - p = 1 - 0.1 = 0.9 - вероятность противоположного события

По интегральной теореме Лапласа-Муавра: $\sf P_n(k_1$

где $\sf x_1=\dfrac{k_1-np}{\sqrt{npq}};~~~~ x_2=\dfrac{k_2-np}{\sqrt{npq}}$

$\sf x_1=\dfrac{20-100\cdot0.1}{\sqrt{100\cdot0.1\cdot0.9}}\approx 3.33;~~~~~~~x_2=\dfrac{30-100\cdot0.1}{\sqrt{100\cdot0.1\cdot0.9}}\approx 6.67$

Искомая вероятность:

               $\sf P_{100}(20$

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть два возможных исхода для каждого человека: либо он болен, либо нет. При условии, что вероятность заболеть гриппом для каждого лица равна 0,1, мы можем определить вероятность того, что из 100 проверенных лиц от 20 до 30 окажутся больными.

Для биномиального распределения вероятность получить k успехов (в данном случае, заболеть гриппом) из n попыток (100 проверенных лиц) с вероятностью успеха p (0,1) задается формулой:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k)

где C(n, k) - число сочетаний из n элементов по k элементов, равное n! / (k! * (n - k)!).

Теперь найдем вероятность того, что от 20 до 30 лиц из 100 окажутся больными:

P(20 <= X <= 30) = P(X = 20) + P(X = 21) + ... + P(X = 30)

где X - случайная величина, равная числу больных лиц из 100 проверенных.

Давайте вычислим это значение:

pythonCopy code
def binomial_coefficient(n, k):
    if k == 0 or k == n:
        return 1
    elif k > n - k:
        k = n - k
    c = 1
    for i in range(k):
        c *= (n - i)
        c //= (i + 1)
    return c

def probability_of_k_successes(n, k, p):
    return binomial_coefficient(n, k) * (p ** k) * ((1 - p) ** (n - k))

p = 0.1
n = 100
total_probability = 0

for k in range(20, 31):
    total_probability += probability_of_k_successes(n, k, p)

print(total_probability)

Вычисленная вероятность будет примерно равна 0.0866 или 8.66%.