Question

Исследовать функцию y=(x-5)/e^(2x) и схематично построить её график.

Answer 1

$y(x) = \frac{x - 5}{ {e}^{2x} } = (x - 5) \cdot {e}^{ - 2x}$
наша
функция( красный график)
получается как произведение функций
$y1(x) = (x - 5) \\ y2(x) = {e}^{ - 2x}$

1) область определения
$D_{y(x)}=x∈R$
2)область значений
$E_{y(x)}=y∈(-∞;0]$
3)нули функции
$y(x) = 0 = > \\ = > (x - 5) \cdot {e}^{ - 2x} = 0 \\ = > x = 5$
функция положительна
при х>5

4)x=0
$y(0) = (0 - 5) \cdot {e}^{ - 2 \cdot 0} = - 5$
5)
$y'(x)=((x - 5) \cdot {e}^{ - 2x} )'= \\ = (x - 5) \cdot( {e}^{ - 2x} )' + \\ + (x - 5 )' \cdot {e}^{ - 2x} = \\ = - 2(x - 5) {e}^{ - 2x} + 1 \cdot {e}^{ - 2x} = \\ = (- 2x - 9){e}^{ - 2x}$


6)
$y( - x) = \frac{ - x - 5}{ {e}^{ - 2x} }≠±y(x)$
функция общего вида,
не является чётной/нечётной

7) функция не является периодической
8) функция возрастающая

Answer 2

Для исследования функции и построения её графика, давайте выполним следующие шаги:

1. Найдем область определения функции.

2. Найдем производную функции для анализа поведения функции на интервалах.

3. Найдем точки пересечения с осями координат.

4. Найдем асимптоты, если они существуют.

5. Построим график функции на основе полученных данных.

6. Область определения функции: Функция определена для всех значений x, так как не содержит никаких знаменателей или радикалов, которые могут привести к делению на ноль или извлечению отрицательного числа из под корня.

7. Производная функции: Для нахождения производной функции y=(x-5)/e^(2x) воспользуемся правилом дифференцирования частного и правилом дифференцирования сложной функции: (dy/dx) = [(e^(2x) * 1) - (e^(2x) * (x-5) * 2)] / (e^(2x))^2

Упростим выражение: (dy/dx) = (e^(2x) - 2(x-5)e^(2x)) / e^(4x)

3. Точки пересечения с осями координат: Для найти точку пересечения с осью y, приравняем x к 0: y = (0 - 5) / e^(2*0) = -5 / 1 = -5 Точка пересечения с осью y имеет координаты (0, -5).

Для найти точку пересечения с осью x, приравняем y к 0 и решим уравнение: 0 = (x - 5) / e^(2x)

Это уравнение не имеет аналитического решения в форме элементарных функций, поэтому точное значение x для пересечения с осью x можно найти численными методами. Но мы можем найти приближенное значение, подставив различные значения x в уравнение и проверить, при каком x значение функции близко к 0.

4. Асимптоты: Теперь рассмотрим предел функции при стремлении x к плюс бесконечности и минус бесконечности: lim (x->+∞) y = lim (x->+∞) (x - 5) / e^(2x) = 0 lim (x->-∞) y = lim (x->-∞) (x - 5) / e^(2x) = 0

Таким образом, у функции нет вертикальных асимптот, и она стремится к горизонтальной асимптоте y = 0.

5. Построение графика: Теперь, зная все эти характеристики, давайте построим график функции y=(x-5)/e^(2x):

На графике учтем:

• Точку пересечения с осью y: (0, -5).
• Поведение функции при x -> +∞ и x -> -∞.
• Горизонтальную асимптоту y = 0.

График будет выглядеть примерно следующим образом:

markdownCopy code
       |
     3 |                        . * *
       |                   *             *
     2 |                *                   *
       |              *                       *
     1 |            *                           *
       |           *                             *
     0 | * * * * *                                 * * * * * *
       |_____________________________________________________
            -2        -1         0         1         2         3

Обратите внимание, что из-за экспоненциального роста e^(2x) функция уменьшается быстро, поэтому у графика функции практически нет отрицательных значений.

Однако, это всего лишь схематичное представление графика. Чтобы получить более точное изображение, рекомендуется использовать компьютерное программное обеспечение, способное строить графики функций.