Question

Срочно помогите пожалуйста!!!Найти производную функции y= ln^2 sin корень x, не через калькулятор только

Answer 1

Решение во вложении.......

Answer 2

Конечно, помогу вам найти производную функции $y = \ln^2(\sin(\sqrt{x}))$ по переменной $x$.

Для удобства давайте введем промежуточные функции: $u(x) = \sin(\sqrt{x})$ и $v(x) = \ln(u(x))^2$.

Теперь найдем производную $u'(x)$ и $v'(x)$ по отдельности.

1. Найдем $u'(x)$: Для этого используем цепное правило. Первым шагом найдем производную $\sin(\sqrt{x})$ по внутренней функции $\sqrt{x}$, а затем умножим на производную $\sqrt{x}$ по $x$.

По цепному правилу: $\frac{d}{dx}(\sin(\sqrt{x})) = \cos(\sqrt{x}) \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x})$

Найдем производную $\frac{d}{dx}(\sqrt{x})$: $\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Теперь, подставим обратно в исходное выражение: $u'(x) = \cos(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}$

2. Найдем $v'(x)$: Также, используем цепное правило: $\frac{d}{dx}(\ln(u(x))^2) = 2 \cdot \ln(u(x)) \cdot \frac{d}{dx}(\ln(u(x)))$

Найдем производную $\frac{d}{dx}(\ln(u(x)))$: $\frac{d}{dx}(\ln(u(x))) = \frac{u'(x)}{u(x)}$

Теперь, подставим обратно в исходное выражение: $v'(x) = 2 \cdot \ln(u(x)) \cdot \frac{u'(x)}{u(x)} = 2 \cdot \ln(\sin(\sqrt{x})) \cdot \frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x} \cdot \sin(\sqrt{x})}$