Question

лотерейный билет имеет шестизначный номер. Билет является выигрышным, если сумма трёх каких-то его цифр равна сумме трех остальных. Игорь купил 2 лотерейных билета с подряд идущими номерами. Они оба оказались выигрышными. На какую цифру оканчивались каждый из этих номеров?

Answer 1

Ответ:

меньший номер оканчивается на цифру 9,

больший номер оканчивается на цифру 0.

Решение:

Заметим, что сумма цифр любого счастливого билета четна (сумма каких-то трех цифр и оставшихся трех - это сумма двух одинаковых чисел, по условию задачи; а сумма двух одинаковых целых чисел всегда четная).

У первого счастливого билета сумма, соответственно, тоже четная.

Если у нас на конце этого билета будет любая из цифр 0, 1, 2, ... , 8 (все, кроме 9), то сумма цифр второго билета - это та же самая сумма, только "плюс один" (так как перехода через десяток не будет), и, следовательно, сумма второго билета будет нечетной, чего не может быть.

Делаем вывод, что последняя цифра - это не 0, 1, ... , 8, а цифра 9.

Пример:

В качестве подтверждающего примера могут служить следующие числа:

Первый билет:   512349   ( 5 + 3 + 4 =  12  = 1 + 2 + 9 ) .

Второй билет:   512350   ( 5 + 1 + 2 =  8  = 3 + 5 + 0 ) .

Answer 2

Давайте рассмотрим возможные варианты, чтобы определить, на какую цифру оканчивались каждый из лотерейных билетов.

Допустим, первый билет имеет номер XXYZZZ, а второй билет - XXYZZZ, где X, Y и Z - различные цифры.

Для выигрыша первого билета, сумма трех цифр должна быть равна сумме трех остальных цифр. Так как Z встречается дважды, то:

X + X + Y = Z + Z + Z 2X + Y = 3Z

Аналогично, для второго билета:

X + X + Y = Y + Z + Z 2X + Y = 2Y + 2Z 2X + Y - 2Y = 2Z 2X - Y = 2Z

Теперь у нас есть два уравнения:

1. 2X + Y = 3Z
2. 2X - Y = 2Z

Мы знаем, что X, Y и Z - это различные цифры от 0 до 9, а также, что билеты выигрышные, поэтому X и Y не могут быть равны нулю.

Теперь посмотрим на различные варианты:

1. Если X = 1 и Y = 2:

1. 2 * 1 + 2 = 4, 3 * Z = 4, но у нас нет целочисленных решений для Z, так как Z должен быть от 0 до 9.

2. Если X = 2 и Y = 1:

1. 2 * 2 + 1 = 5, 3 * Z = 5, но у нас нет целочисленных решений для Z.

3. Если X = 1 и Y = 3:

1. 2 * 1 + 3 = 5, 3 * Z = 5, но у нас нет целочисленных решений для Z.

4. Если X = 3 и Y = 1:

1. 2 * 3 + 1 = 7, 3 * Z = 7, но у нас нет целочисленных решений для Z.

5. Если X = 2 и Y = 3:

1. 2 * 2 + 3 = 7, 3 * Z = 7, у нас также нет целочисленных решений для Z.

6. Если X = 3 и Y = 2:

1. 2 * 3 + 2 = 8, 3 * Z = 8, у нас нет целочисленных решений для Z.

Ни один из вариантов не дает нам целочисленных решений для Z. Это значит, что в предположении о том, что оба билета имеют подряд идущие номера, нет подходящего решения. Возможно, была допущена ошибка в условии или предположении.