Question

Сделайте чертеж и вычислите площадь фигуры ограниченной данными линиями y=x^3-1 y=0 x=0

Answer 1

$x^3 - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$.

$\int\limits^1_0 {(x^3 - 1)} \, dx = (\frac{x^4}{4} - x)\Big|^1_0 = -\frac{3}{4}$

Answer 2

К сожалению, в своем текущем текстовом интерфейсе я не могу создавать иллюстрации или рисунки. Однако, я могу описать вам процесс решения и вычисления площади фигуры.

Для начала, давайте нарисуем график этих функций, чтобы лучше понять область, ограниченную ими:

1. y = x^3 - 1 (функция кубического графика)
2. y = 0 (ось x)
3. x = 0 (ось y)

Функция y = x^3 - 1 представляет собой кубическую кривую, которая пересекает ось x в точке (0, -1) и проходит вверх через положительные значения x. Ось x (y = 0) - это горизонтальная прямая, а ось y (x = 0) - это вертикальная прямая.

Искомая фигура - это область, заключенная между кубической кривой и осями x и y. Она ограничена горизонтальной прямой y = 0 снизу, вертикальной прямой x = 0 слева и кубической кривой сверху.

Чтобы вычислить площадь этой фигуры, нам понадобится интеграл. Поскольку мы работаем с горизонтальными слоями, возьмем определенный интеграл от функции y = x^3 - 1 от 0 до точки пересечения с осью x (когда y = 0). Найдем это значение:

x^3 - 1 = 0 x^3 = 1 x = 1

Таким образом, наш интеграл для вычисления площади будет выглядеть так:

Площадь = ∫[0, 1] (x^3 - 1) dx

Вычислим интеграл:

∫(x^3 - 1) dx = (x^4/4 - x) + C

Теперь вычислим значение интеграла на интервале [0, 1]:

Площадь = [(1^4/4 - 1) - (0^4/4 - 0)] = (1/4 - 1) = -3/4

Итак, площадь фигуры, ограниченной функциями y = x^3 - 1, y = 0 и x = 0, составляет -3/4 квадратных единиц (единицы площади). Обратите внимание, что площадь отрицательная, что логично, так как кривая находится под осью x и имеет отрицательные значения на данном интервале.