Question

Вычислите следующую сумму 1^2\1*3+2^2\3*5+...+360000\(2*600-1)(2*600+1) В ответ запишите целую часть полученного числа

Answer 1

Вычислить сумму

$\dfrac{1^2}{1\cdot 3}+\dfrac{2^2}{3\cdot 5}+...+\dfrac{600^2}{(2\cdot 600-1)(2\cdot 600+1)}$

Данную сумму можно представить в виде суммы 600 элементов числового ряда, члены которого можно записать формулой

$a_n=\dfrac{n^2}{(2\cdot n-1)(2\cdot n+1)},~~n \in N, ~n\leq 600$

Преобразуем формулу следующим образом

$a_n=\dfrac{n^2}{(2\cdot n-1)(2\cdot n+1)}=\dfrac{n^2}{4n^2-1}=\\\\\\=0,25+\dfrac{0,25}{4n^2-1}=0,25+0,25\cdot \dfrac 1{(2n-1)(2n+1)}=\\\\\\=0,25+0,25\cdot \Big(\dfrac{0,5}{2n-1}-\dfrac{0,5}{2n+1} \Big)=\\\\\\=0,25+0,125\cdot \Big(\dfrac 1{2n-1}-\dfrac 1{2n+1} \Big)$

Тогда представленную в условии сумму можно переписать так

$\dfrac{1^2}{1\cdot 3}+\dfrac{2^2}{3\cdot 5}+...+\dfrac{600^2}{(2\cdot 600-1)(2\cdot 600+1)}=\\\\=0,25+0,125\cdot \Big(\dfrac 1{2\cdot 1-1}-\dfrac 1{2\cdot 1+1} \Big)+\\\\+0,25+0,125\cdot \Big(\dfrac 1{2\cdot 2-1}-\dfrac 1{2\cdot 2+1} \Big)+\\\\+0,25+0,125\cdot \Big(\dfrac 1{2\cdot 3-1}-\dfrac 1{2\cdot 3+1} \Big)+...\\...$

$+0,25+0,125\cdot \Big(\dfrac 1{2\cdot 598-1}-\dfrac 1{2\cdot 598+1} \Big)+\\\\+0,25+0,125\cdot \Big(\dfrac 1{2\cdot 599-1}-\dfrac 1{2\cdot 599+1} \Big)+\\\\+0,25+0,125\cdot \Big(\dfrac 1{2\cdot 600-1}-\dfrac 1{2\cdot 600+1} \Big)=\\\\\\=0,25\cdot 600 +0,125\cdot \Big(\dfrac 11-\dfrac 13 +\dfrac 13-\dfrac 15+\dfrac 15-\dfrac 17 + ...\\...\\+\dfrac 1{1195}-\dfrac 1{1197}+\dfrac 1{1197}-\dfrac 1{1199}+\dfrac 1{1199}-\dfrac 1{1201}\Big)=$

$=150 +0,125\cdot \Big(1-\dfrac 1{1201}\Big)=150 +\dfrac 18 \cdot \dfrac {1200}{1201}=\\\\\\\boxed{\boldsymbol{=150\dfrac{150}{1201}}}$

Ответ:  150

Answer 2

Для вычисления данной суммы, сначала приведем каждый элемент к общему знаменателю 2:

1^2 / (13) = 1/3 2^2 / (35) = 4/15 ... 360000 / ((2600-1)(2600+1)) = 360000 / (1199*1201)

Теперь суммируем эти дроби:

1/3 + 4/15 + ... + 360000 / (11991201) = Σ (1^2 / (13), 2^2 / (35), ..., 360000 / (11991201))

Чтобы упростить вычисления, вынесем общий множитель 1/3 за скобку:

1/3 * (1 + 4/5 + ... + 360000 / (11991201)) = 1/3 * Σ (1 + 4/5 + ... + 360000 / (11991201))

Теперь внутри скобки у нас арифметическая прогрессия:

Σ (1 + 4/5 + ... + 360000 / (1199*1201)) = Σ (1 + 2^2 / 5 + ... + n^2 / (2n-1)(2n+1))

где n = 600 (поскольку у нас 360000 элементов).

Формула суммы первых n квадратов имеет вид: Σ (k^2) = n(n+1)(2n+1)/6.

Таким образом, наша сумма равна:

1/3 * (600(600+1)(2*600+1))/6

Теперь произведем вычисления:

1/3 * (600(600+1)(2*600+1))/6 = 1/3 * (600 * 601 * 1201) / 6

Распространяем деление на 3 и 6:

(600 * 601 * 1201) / (3 * 6) = (600 * 601 * 1201) / 18

Теперь выполняем умножение:

(600 * 601 * 1201) / 18 = 4321200

Ответ: целая часть полученного числа равна 4321200.