Question

Помогите решить интеграл sin(4x)*cos(5x)dx

Answer 1

$\int sin4x\cdot cos5x\, dx=\int \frac{1}{2}\cdot (sin9x+\underbrace {sin(-x)}_{-sinx})dx=\\\\=\frac{1}{2}\cdot (-\frac{1}{9}cos9x +cosx)+C$

Answer 2

Для решения данного интеграла, вам понадобится использовать метод интегрирования по частям. Формула для интегрирования по частям имеет вид:

∫u * dv = uv - ∫v * du

где u и v - это функции, а du и dv - их дифференциалы.

В вашем случае, выберем u = sin(4x) и dv = cos(5x)dx.

Теперь найдем du и v:

du = d(sin(4x)) = 4 * cos(4x)dx v = ∫dv = ∫cos(5x)dx = (1/5) * sin(5x)

Теперь подставим все в формулу интегрирования по частям:

∫sin(4x) * cos(5x)dx = u * v - ∫v * du ∫sin(4x) * cos(5x)dx = sin(4x) * (1/5) * sin(5x) - ∫(1/5) * sin(5x) * 4 * cos(4x)dx

Упростим:

∫sin(4x) * cos(5x)dx = (1/5) * sin(4x) * sin(5x) - (4/5) * ∫sin(5x) * cos(4x)dx

Теперь решим получившийся интеграл ∫sin(5x) * cos(4x)dx. Для этого воспользуемся снова методом интегрирования по частям.

Выберем u = sin(5x) и dv = cos(4x)dx.

Тогда du = d(sin(5x)) = 5 * cos(5x)dx и v = ∫dv = ∫cos(4x)dx = (1/4) * sin(4x)

Теперь подставим все в формулу интегрирования по частям:

∫sin(5x) * cos(4x)dx = u * v - ∫v * du ∫sin(5x) * cos(4x)dx = sin(5x) * (1/4) * sin(4x) - ∫(1/4) * sin(4x) * 5 * cos(5x)dx

Упростим:

∫sin(5x) * cos(4x)dx = (1/4) * sin(5x) * sin(4x) - (5/4) * ∫sin(4x) * cos(5x)dx

Теперь мы получили интеграл, который мы искали, справа стоит та же функция, что и слева. Теперь объединим все слагаемые с этой функцией:

∫sin(4x) * cos(5x)dx + (5/4) * ∫sin(4x) * cos(5x)dx = (1/4) * sin(5x) * sin(4x)

Теперь выразим ∫sin(4x) * cos(5x)dx:

(1 + 5/4) * ∫sin(4x) * cos(5x)dx = (1/4) * sin(5x) * sin(4x)

Упростим:

(9/4) * ∫sin(4x) * cos(5x)dx = (1/4) * sin(5x) * sin(4x)

Теперь разделим обе стороны на (9/4):

∫sin(4x) * cos(5x)dx = (1/9) * sin(5x) * sin(4x) + C

Где C - произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, интеграл ∫sin(4x) * cos(5x)dx равен:

∫sin(4x) * cos(5x)dx = (1/9) * sin(5x) * sin(4x) + C