Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функции: y=2/x ; 2y= - x+5

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками данных функций, необходимо найти точки пересечения графиков и затем интегрировать разность функций в этом интервале.

Шаг 1: Найдем точку пересечения графиков.

Используем систему уравнений для нахождения точки пересечения:

1. y = 2/x
2. 2y = -x + 5

Для начала, подставим выражение (1) в уравнение (2):

2 * (2/x) = -x + 5

Упростим:

4/x = -x + 5

Перенесем все члены в одну сторону:

4/x + x = 5

Теперь приведем к общему знаменателю:

(4 + x^2) / x = 5

Умножим обе стороны на x:

4 + x^2 = 5x

Теперь перенесем все члены в одну сторону и приведем уравнение к квадратному виду:

x^2 - 5x + 4 = 0

Это квадратное уравнение имеет два корня:

x₁ = 1 x₂ = 4

Шаг 2: Найдем соответствующие значения y для каждой точки пересечения.

Для x = 1:

y = 2/x = 2/1 = 2

Для x = 4:

y = 2/x = 2/4 = 0.5

Таким образом, точки пересечения графиков: (1, 2) и (4, 0.5).

Шаг 3: Найдем площадь фигуры между графиками функций на интервале [1, 4].

Площадь фигуры можно вычислить как разность площадей двух фигур под графиками данных функций на данном интервале. Формула для вычисления площади между двумя кривыми задается как:

Площадь = | ∫ (верхняя_функция - нижняя_функция) dx |

где ∫ - обозначает интеграл, а | | - обозначает взятие абсолютной величины.

В данном случае, верхняя функция - это 2/x, а нижняя функция - это 2y = -x + 5.

Интегрируем разность этих функций на интервале [1, 4]:

Площадь = ∫ (2/x - (-x + 5)) dx (от 1 до 4)

Площадь = ∫ (2/x + x - 5) dx (от 1 до 4)

Посчитаем интеграл:

Площадь = [2ln|x| + (x^2)/2 - 5x] (от 1 до 4)

Площадь = [2ln|4| + (4^2)/2 - 54] - [2ln|1| + (1^2)/2 - 51]

Площадь = [2ln(4) + 8 - 20] - [2ln(1) + 0 - 5]

Площадь = [2ln(4) - 12] - [-5]

Площадь = 2ln(4) - 7

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 2/x и 2y = -x + 5 на интервале [1, 4], равна 2ln(4) - 7 или приблизительно около 0.386.