Question

Помогите решить sin x+ cos x= 1+ sin x* cos x

Answer 1

sin(x) + cos(x) = 1 + sin(x)*cos(x),

sin(x)*cos(x) - sin(x) - cos(x) + 1 = 0,

sin(x)*( cos(x) - 1 ) - ( cos(x) - 1 ) = 0,

( cos(x) - 1 )*( sin(x) - 1 ) = 0,

cos(x) - 1 = 0 или sin(x) - 1 = 0,

cos(x) = 1 или sin(x) = 1,

x = 2πn, n∈Z или x = (π/2) + 2πk, k∈Z.

Answer 2

Для решения уравнения sin x + cos x = 1 + sin x * cos x, давайте попробуем привести его к более удобному виду. Для этого выразим левую сторону через одну из тригонометрических формул.

Начнем с правой стороны:

1 + sin x * cos x = 1 + 1/2 * [2 * sin x * cos x] = 1 + 1/2 * sin(2x)

Теперь у нас уравнение имеет вид:

sin x + cos x = 1 + 1/2 * sin(2x)

Затем воспользуемся формулами преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

sin(α) + cos(β) = sqrt(2) * sin(α + π/4)

где α = x, β = π/2 - x

Теперь уравнение примет вид:

sqrt(2) * sin(x + π/4) = 1 + 1/2 * sin(2x)

Теперь перепишем 1 + 1/2 * sin(2x) в виде суммы тригонометрических функций:

1 + 1/2 * sin(2x) = 1 + 1/2 * 2 * sin(x) * cos(x) = 1 + sin(x) * cos(x)

Таким образом, уравнение примет вид:

sqrt(2) * sin(x + π/4) = 1 + sin(x) * cos(x)

Теперь давайте рассмотрим два случая:

Случай 1: sin(x) + cos(x) ≠ 0

Если sin(x) + cos(x) ≠ 0, то можно разделить обе стороны уравнения на sqrt(2):

sin(x + π/4) = (1 + sin(x) * cos(x)) / sqrt(2)

Теперь применим обратную функцию sin к обеим сторонам уравнения:

x + π/4 = arcsin[(1 + sin(x) * cos(x)) / sqrt(2)]

x = arcsin[(1 + sin(x) * cos(x)) / sqrt(2)] - π/4

Это даст нам значение x.

Случай 2: sin(x) + cos(x) = 0

Если sin(x) + cos(x) = 0, то уравнение будет выглядеть следующим образом:

0 = 1 + sin(x) * cos(x)

Однако справа находится положительное число, а слева - 0. Это означает, что второй случай не имеет решений, так как сумма sin(x) и cos(x) не может быть равна нулю при реальных значениях x.

Таким образом, у нас есть решение для случая sin(x) + cos(x) ≠ 0:

x = arcsin[(1 + sin(x) * cos(x)) / sqrt(2)] - π/4

Пожалуйста, обратите внимание, что это уравнение является трансцендентным и, возможно, его решение в явном виде будет затруднительным. Возможно, потребуется использовать численные методы для приближенного нахождения корней.