Question

Решите, используя формулу полной вероятности. 1.Трое рабочих за смену изготовили 60 деталей. Производительность рабочих относится как 1:2:3. Первый рабочий изготавливает в среднем 95% годных деталей, второй – 85% и третий – 90%. Найти вероятность того, что наудачу взятая из числа изготовленных за смену деталь низкого качества.

Answer 1

Ответ: Вероятность брака -  13/120 ≈ 0,1083 ≈ 10,8%.

Даны такие "неудобные" числа, что даже трудно выбрать как вычислять - точно, но в натуральных дробях или приблизительно - в десятичных.

НАЙТИ: Вероятность БРАКА.

Пошаговое объяснение:

Расчет сведен в таблицу и даже в двух вариантах. Таблица в приложении.

Для определённости дадим рабочим традиционные русские фамилии.

Мой ответ - "Ответ Замятина - НЕ НУЖНОЕ - не использовать - дано для общего развития."

Событие по задаче  - случайная деталь и будет браком состоит из двух независимых.  

Вероятность выбрать случайную деталь из 60 штук находим разделив в отношении 1:2:3 и получаем:

Р11 = 1/6,  Р12=1/3 и Р13= 1/2. - вероятности выбрать случайную деталь из 60 штук. Проверили - сумма равна 1 (доля в бригаде).

Теперь находим вероятность БРАКА у каждого рабочего  по формуле: Q= 1 - P.

q21 = 1 - p21 = 1 - 0.95 = 0.05 = 1/20 - вероятность брака у Иванова.

Аналогично: q22 = 0,15 = 3/20, q32 = 0,1 =  1/10 - у других рабочих.

И теперь собственно решение задачи: случайная задача будет браком состоит из трёх событий: Иванов И брак ИЛИ Петров И брак ИЛИ Сидоров И брак. Пишем формулу:

Q(А) = p11*q21 + p21*q22 + p31*q23 = 1/120 + 1/20 + 1/20 = 13/120 - вероятность бракованной детали.

Понятно, что вероятность годной детали будет: P(A) = 1 - Q(A) = 107/120 - ответ точный или то же но в десятичных дробях - 0,1083 - брак и 0,8917 - годные.

А далее по формуле Байеса находим, что этот брак сделал НЕ ИВАНОВ.

Answer 2

Для решения данной задачи с использованием формулы полной вероятности, нужно рассмотреть все возможные случаи, которые могут привести к изготовлению деталей низкого качества, и сложить вероятности этих случаев.

Пусть событие A - это изготовление детали низкого качества.

Так как производительность рабочих относится как 1:2:3, то общее количество деталей произведенных каждым рабочим можно вычислить следующим образом: Пусть x - это количество деталей, изготовленных первым рабочим. Тогда второй рабочий изготовит 2x деталей, а третий рабочий - 3x деталей.

Также даны вероятности производства годных деталей каждым рабочим: P(годная деталь|рабочий 1) = 0.95 P(годная деталь|рабочий 2) = 0.85 P(годная деталь|рабочий 3) = 0.90

Теперь рассмотрим вероятности каждого случая:

1. Первый рабочий изготовил деталь низкого качества (A). Вероятность этого случая: P(A|рабочий 1) = 1 - P(годная деталь|рабочий 1) = 1 - 0.95 = 0.05

2. Второй рабочий изготовил деталь низкого качества (A). Вероятность этого случая: P(A|рабочий 2) = 1 - P(годная деталь|рабочий 2) = 1 - 0.85 = 0.15

3. Третий рабочий изготовил деталь низкого качества (A). Вероятность этого случая: P(A|рабочий 3) = 1 - P(годная деталь|рабочий 3) = 1 - 0.90 = 0.10

Теперь найдем вероятность каждого из этих случаев:

P(рабочий 1) - вероятность выбрать первого рабочего для изготовления детали: Поскольку производительность рабочих составляет 1:2:3, вероятность выбрать первого рабочего будет: P(рабочий 1) = 1 / (1 + 2 + 3) = 1/6

P(рабочий 2) - вероятность выбрать второго рабочего для изготовления детали: P(рабочий 2) = 2 / (1 + 2 + 3) = 2/6 = 1/3

P(рабочий 3) - вероятность выбрать третьего рабочего для изготовления детали: P(рабочий 3) = 3 / (1 + 2 + 3) = 3/6 = 1/2

Теперь мы можем использовать формулу полной вероятности, чтобы найти вероятность изготовления детали низкого качества:

P(A) = P(A|рабочий 1) * P(рабочий 1) + P(A|рабочий 2) * P(рабочий 2) + P(A|рабочий 3) * P(рабочий 3) P(A) = 0.05 * 1/6 + 0.15 * 1/3 + 0.10 * 1/2 P(A) = 0.008333... + 0.05 + 0.05 P(A) = 0.108333...

Итак, вероятность того, что наудачу взятая из числа изготовленных за смену деталь будет низкого качества, составляет приблизительно 0.1083 или около 10.83%.