Question

Три задачи по теории вероятности. Помогите, пожалуйста 1) (формула полной вероятности) В магазине есть лампы, изготовленные на двух заводах. Вероятность того, что лампа, изготовленная на первом заводе, качественная 0,9, а на втором заводе – 0,8. найти вероятность того, что наугад выбранная лампа качественная.2) (формула Бейеса) Студент может добраться до университета автобусом или маршрутным такси. Вероятность дождаться маршрутки вдвое больше, чем дождаться автобуса. Вероятность, что учащийся успеет на занятие, если поедет на автобусе равна 0,8, на маршрутке – 0,9. Наугад выбранный студент успел на занятие. Какова вероятность того, что он приехал на занятия на автобусе?3) 1. На 40% деталей данного типа производит первый рабочий, 35% – второй, 25% – третий рабочий. Вероятность изготовления бракованной детали для этих рабочих равняется соответственно 4%, 3%, 5%. Все детали, произведенные за смену всеми рабочими, собрали и наугад избрали одну из них. Найти вероятность, что эта деталь а) качественная; б) бракованная; в) качественная и производимая вторым рабочим.​

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

1. Пусть события Н1 и Н2- два завода изготовителя лампочек

Событие А - качественная лампочка

Тогда Р(А/Н1)=0,9, а Р(А/Н2)=0,8

Так как условий на поставщика не накладено, то Р(Н1)=Р(Н2)=1/2

Р(А)=Р(Н1)×Р(А/Н1)+Р(Н2)×Р(А/Н2)=1/2(0,9+0,8)=1/2×17/10=17/20=0,85

2. Пусть события Н1 и Н2 проезд автобусом и маршруткой, соответственно

Событие А - успеть на занятие

Тогда

Р(Н1)=1/3

Р(Н2)=2/3

Р(А/Н1)= 0,8

Р(А/Н2)=0,9

Р(Н1/А)=Р(Н1)×Р(А/Н1)/(Р(Н1)×Р(А/Н1)+Р(Н2)×Р(А/Н2))= 1/3×0.8/(1/3×0.8+2/3×0.9)=8/30÷(8/30+18/30)=8/26=4/13≈0.308

3. Пусть Н1, Н2, Н3 - события " деталь изготовил і рабочий", і=1,2,3

В-изготовлено бракованное изделие, А - качественная

Р(Н1)=0.4

Р(Н2)=0.35

Р(Н3)=0.25

Р(В/Н1)=0.04. Р(А/Н1)=0.96

Р(В/Н2)=0.03. Р(А/Н2)=0.97

Р(В/Н3)=0.05. Р(А/Н3)=0.95

а) Р(А)=Р(Н1)×Р(А/Н1)+Р(Н2)×Р(А/Н2)+Р(Н3)×Р(А/Н3)=0.4×0.96+0.35×0.97+0.25×0.95=0,961

б) Р(В)=Р(Н1)×Р(В/Н1)+Р(Н2)×Р(В/Н2)+Р(Н3)×Р(В/Н3)=0.4×0.04+0.35×0.03+0.25×0.05=0,039

в) Р(Н2/А) =Р(Н2)×Р(А/Н2)/Р(А)=0.35×0.97/0.961=0,3395/0.961=0,353

Answer 2

Давайте рассмотрим каждую из задач подробно:

Задача 1: Формула полной вероятности

У нас есть два завода, и каждый из них производит лампы. Вероятность того, что лампа качественная, зависит от завода. Пусть событие \( A \) - лампа качественная, \( B_1 \) - лампа изготовлена на первом заводе, \( B_2 \) - лампа изготовлена на втором заводе. Тогда формула полной вероятности выглядит так:

\[ P(A) = P(A|B_1) \cdot P(B_1) + P(A|B_2) \cdot P(B_2) \]

Из условия задачи нам даны следующие значения:

\[ P(A|B_1) = 0.9 \] (вероятность того, что лампа качественная, если изготовлена на первом заводе)

\[ P(B_1) = ? \] (вероятность того, что лампа изготовлена на первом заводе)

\[ P(A|B_2) = 0.8 \] (вероятность того, что лампа качественная, если изготовлена на втором заводе)

\[ P(B_2) = ? \] (вероятность того, что лампа изготовлена на втором заводе)

Мы должны найти \( P(A) \), вероятность того, что наугад выбранная лампа качественная. Подставим известные значения в формулу полной вероятности и решим уравнение.

Задача 2: Формула Бейеса

У нас есть студент, который может добираться до университета на автобусе или маршрутном такси. Давайте обозначим события:

\( A \) - учащийся успел на занятие, \( B_1 \) - студент ехал на автобусе, \( B_2 \) - студент ехал на маршрутке.

Мы знаем следующие вероятности:

\[ P(B_2) = 2 \cdot P(B_1) \] (вероятность дождаться маршрутки вдвое больше, чем дождаться автобуса)

\[ P(A|B_1) = 0.8 \] (вероятность успеха, если поедет на автобусе)

\[ P(A|B_2) = 0.9 \] (вероятность успеха, если поедет на маршрутке)

Мы должны найти вероятность того, что студент приехал на занятия на автобусе, т.е. \( P(B_1|A) \). Для этого воспользуемся формулой Бейеса:

\[ P(B_1|A) = \frac{P(A|B_1) \cdot P(B_1)}{P(A)} \]

Задача 3: Вероятность изготовления детали

У нас есть три рабочих, производящих детали. Пусть события будут обозначены как \( A \) - деталь качественная, \( B_1 \), \( B_2 \), \( B_3 \) - деталь произведена соответственно первым, вторым и третьим рабочим.

Мы знаем следующие вероятности:

\[ P(B_1) = 0.4 \] (вероятность, что деталь произведена первым рабочим)

\[ P(B_2) = 0.35 \] (вероятность, что деталь произведена вторым рабочим)

\[ P(B_3) = 0.25 \] (вероятность, что деталь произведена третьим рабочим)

\[ P(A|B_1) = 0.96 \] (вероятность, что деталь качественная, если произведена первым рабочим)

\[ P(A|B_2) = 0.97 \] (вероятность, что деталь качественная, если произведена вторым рабочим)

\[ P(A|B_3) = 0.95 \] (вероятность, что деталь качественная, если произведена третьим рабочим)

Теперь мы можем найти вероятности:

а) Вероятность того, что деталь качественная:

\[ P(A) = P(A|B_1) \cdot P(B_1) + P(A|B_2) \cdot P(B_2) + P(A|B_3) \cdot P(B_3) \]

б) Вероятность того, что деталь бракованная:

\[ P(\text{брак}) = 1 - P(A) \]

в) Вероятность того, что деталь качественная и произведена вторым рабочим:

\[ P(A \cap B_2) = P(A|B_2) \cdot P(B_2) \]