Question

Три автомата изготавливают детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого, второго и третьего автомата относятся как 13:14:10. Вероятность того, что деталь, изготовленная первым автоматом, отличного качества равна 0,9; для второго и третьего автоматов эти вероятности равны соответственно 0,8 и 0,7. Найти вероятность того, что: а) наудачу взятая с конвейера деталь не отличного качества; б) деталь была изготовлена вторым автоматом, если наудачу взятая с конвейера деталь не отличного качества.

Answer 1

Н1 - деталь изготовлена 1-ым автоматом; вероятность этой гипотезы Р(Н1) = 13/(13+14+10) = 13/37 
Н2 - деталь изготовлена 2-ым автоматом; Р(Н2) = 14/37
Н3 - деталь изготовлена 3-им автоматом; Р(Н3) = 10/37. 
Контроль: (13+14+10)/37=1 
Условная вероятность того, что деталь высшего качества, при верности гипотезы Н1 равна: Р(А|H1)=0,9. 
Аналогично условные вероятности: P(A|H2)=0,8 и  P(A|H3)=0,7. 
а) Вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности: 
Р(А) = Р(Н1)*Р(А|H1) + Р(Н2)*Р(А|H2) + Р(Н3)*Р(А|H3) = 0,19
б) вероятность правильности гипотезы Н2, вычисляется по формуле Бейеса: 
P(H2|A) = Р(Н2)*Р(А|H2)/P(A) = 0,63 

Answer 2

а) Пусть $A_i$ - событие, что деталь изготовлена $i$-м автоматом, $B$ - событие, что наудачу взятая с конвейера деталь не отличного качества. Тогда по формуле полной вероятности:

$P(B) = \sum_{i=1}^{3} P(B|A_i)P(A_i) = P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) + P(B|A_3)P(A_3)$

где $P(B|A_i)$ - вероятность того, что деталь от $i$-го автомата не отличного качества, $P(A_i)$ - вероятность того, что деталь изготовлена $i$-м автоматом.

Из условия задачи:

$P(B|A_1) = 0.1, P(B|A_2) = 0.2, P(B|A_3) = 0.3$

$P(A_1) = \frac{13}{37}, P(A_2) = \frac{14}{37}, P(A_3) = \frac{10}{37}$

Подставляя значения в формулу, получаем:

$P(B) = 0.1 \cdot \frac{13}{37} + 0.2 \cdot \frac{14}{37} + 0.3 \cdot \frac{10}{37} \approx 0.2081$

Ответ: вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь не отличного качества, примерно равна 0.2081.

б) Пусть $C_i$ - событие, что деталь изготовлена $i$-м автоматом, если наудачу взятая с конвейера деталь не отличного качества. Тогда по формуле Байеса:

$P(C_2|B) = \frac{P(B|C_2)P(C_2)}{P(B)}$

где $P(B|C_2)$ - вероятность того, что деталь от второго автомата не отличного качества (из условия задачи $P(B|C_2) = 0.2$), $P(C_2)$ - вероятность того, что деталь изготовлена вторым автоматом ($P(C_2) = \frac{14}{37}$), $P(B)$ - вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь не отличного качества (рассчитана в пункте а)).

Подставляя значения, получаем:

$P(C_2|B) = \frac{0.2 \cdot \frac{14}{37}}{0.2081} \approx 0.3781$

Ответ: вероятность того, что деталь была изготовлена вторым автоматом, если на