Question

1.Найти производные функций 1) y=5x^7+4x^2+2 корень x 2) y=x^4 * sin x 3) y=6 lnx+4e^x 2.Вычислите производные функций в точке x0 1) y=7x^5 +2x^3-6 корень x 2) y=7x+8/4x+1 x0=1 Решите пожалуйста

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1.

1) y' = 35x⁶ + 8x + 1/√x

2) y' = 4x³sinx + x⁴cosx

3) 6/x + 4eˣ

2.

1) y' = 35x⁴ + 6x² - 3/√x

y'(1) = 35 + 6 - 3 = 38

2) y' = 7 -2/x²

y'(1) = 7 - 2 = 5

Answer 2

Давайте решим поставленные задачи.

1. Найти производные функций:

1. y = 5x^7 + 4x^2 + 2

Для нахождения производной функции по x нужно просто дифференцировать каждый член по отдельности. Производная степенной функции x^n равна n*x^(n-1), а производная константы c равна нулю.

y' = d/dx (5x^7) + d/dx (4x^2) + d/dx (2) y' = 35x^6 + 8x

2. y = x^4 * sin(x)

Для нахождения производной произведения функций применяем правило производной произведения (производная произведения равна произведению производной первой функции на вторую плюс первой функции на производную второй).

y' = d/dx (x^4) * sin(x) + x^4 * d/dx (sin(x)) y' = 4x^3 * sin(x) + x^4 * cos(x)

3. y = 6 ln(x) + 4e^x

Для нахождения производной функции ln(x) (натурального логарифма) и e^x применяем стандартные правила дифференцирования.

y' = 6 * d/dx (ln(x)) + 4 * d/dx (e^x) y' = 6 * (1/x) + 4 * e^x y' = 6/x + 4e^x

2. Вычислить производные функций в точке x0:

1. y = 7x^5 + 2x^3 - 6

Для вычисления производной в точке x0 подставляем x0 вместо x в полученное выражение для производной.

y' = d/dx (7x^5 + 2x^3 - 6) y' = 35x^4 + 6x^2

Для нахождения значения производной в точке x0=1 подставим x=1:

y'(1) = 351^4 + 61^2 y'(1) = 35 + 6 y'(1) = 41

Ответ: y'(1) = 41

2. y = (7x + 8)/(4x + 1)

Для вычисления производной функции необходимо применить правило дифференцирования для деления (производная частного равна разности производной числителя и производной знаменателя деленной на квадрат знаменателя).

y' = ((d/dx (7x + 8)) * (4x + 1) - (7x + 8) * (d/dx (4x + 1))) / (4x + 1)^2 y' = (7 * (4x + 1) - (7x + 8) * 4) / (4x + 1)^2 y' = (28x + 7 - 28x - 32) / (4x + 1)^2 y' = (-25) / (4x + 1)^2

Для нахождения значения производной в точке x0=1 подставим x=1:

y'(1) = (-25) / (4*1 + 1)^2 y'(1) = (-25) / 5^2 y'(1) = (-25) / 25 y'(1) = -1

Ответ: y'(1) = -1