Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиямиy=-x^2+4, y=(x-2)^2

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Находим точки пересечения графиков функций.

x² + 4 = x² - 2x + 4

- 2*x = 0,  x = 0  - точка пересечения.

Эти функции пересекаются только в одной точке - х = 0 и, поэтому, площадь фигуры не имеет границ..

Рисунок к задаче в приложении.

ОТВЕТ: S= ∞ - (бесконечность).

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения и определить, какая кривая находится выше в каждой области между пересечениями. Затем можно вычислить определенный интеграл для нахождения площади под каждой кривой.

Для начала, найдем точки пересечения этих двух кривых:

Приравняем уравнения: $-x^2 + 4 = (x - 2)^2$

Раскроем квадрат справа: $-x^2 + 4 = x^2 - 4x + 4$

Теперь приведем все слагаемые в левой части уравнения к одной стороне: $2x^2 - 4x = 0$

Вынесем общий множитель: $2x(x - 2) = 0$

Таким образом, имеем два решения:

1. $x = 0$
2. $x - 2 = 0 \implies x = 2$

Теперь, чтобы определить, какая кривая находится выше в каждой области между пересечениями, рассмотрим интервалы между этими точками. Построим таблицу значений:

x	y=-x^2+4	y=(x-2)^2
-1	3	9
1.5	2.25	0.25

Таким образом, на интервале от $x = 0$ до $x = 2$ кривая $y = (x - 2)^2$ находится выше кривой $y = -x^2 + 4$.

Теперь вычислим площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми, с помощью определенного интеграла:

$\text{Площадь} = \int_{0}^{2} [(x - 2)^2 - (-x^2 + 4)] \, dx$

Раскроем скобки и произведем вычисления:

$\text{Площадь} = \int_{0}^{2} (x^2 - 4x + 4 + x^2 - 4) \, dx$ $\text{Площадь} = \int_{0}^{2} (2x^2 - 4x) \, dx$

Теперь проинтегрируем: $\text{Площадь} = \left[\frac{2x^3}{3} - 2x^2\right]_{0}^{2}$ $\text{Площадь} = \left[\frac{2(2)^3}{3} - 2(2)^2\right] - \left[\frac{2(0)^3}{3} - 2(0)^2\right]$ $\text{Площадь} = \left[\frac{16}{3} - 8\right] - [0]$ $\text{Площадь} = \frac{16}{3} - 8$ $\text{Площадь} = \frac{16 - 24}{3}$ $\text{Площадь} = -\frac{8}{3}$

Итак, площадь фигуры, ограниченной данными кривыми, равна $-\frac{8}{3}$ (отрицательное значение площади означает, что кривая $y = -x^2 + 4$ находится выше кривой $y = (x - 2)^2$ в данной области).