Question

Числа a , b , c , d удовлетворяют равенству 13 ⋅ √ a − 13 2 + 27 ⋅ √ b − 27 2 + 40 ⋅ √ c − 40 2 + 31 ⋅ √ d − 31 2 = a + b + c + d 2 . Какое наибольшее значение может принимать разность двух из чисел a , b , c , d ?

Answer 1

Полное условие на фотке.

$13\cdot \sqrt{a-13^2}+27\cdot \sqrt{b-27^2}+40\cdot \sqrt{c-40^2}+31\cdot \sqrt{d-31^2}=\dfrac{a+b+c+d}{2}$

По неравенству Коши

$13\sqrt{a-13^2}\leq \dfrac{13^2+a-13^2}{2}=\dfrac{a}{2}\\ \\ 27\sqrt{b-27^2}\leq \dfrac{27^2+b-27^2}{2}=\dfrac{b}{2}\\ \\ 40\sqrt{c-40^2}\leq\dfrac{40^2+c-40^2}{2}=\dfrac{c}{2}\\ \\ 31\sqrt{d-31^2}\leq\dfrac{31^2+d-31^2}{2}=\dfrac{d}{2}$

Сложив эти четыре неравенства мы получим

$13\sqrt{a-13^2}+27\sqrt{b-27^2}+40\sqrt{c-40^2}+31\sqrt{d-31^2}\leq\dfrac{a+b+c+d}{2}$

Отсюда и из уравнения следует, что примененное неравенство превратилось в равенство. Среднее геометрическое не превышает среднее арифметическое и при этом равенство достигается при

$13^2=a-13^2~~~\Rightarrow~~ \boxed{a=338}\\ \\ 27^2=b-27^2~~~\Rightarow~~~ \boxed{b=1458}\\ \\ 40^2=c-40^2~~~\Rightarow~~~ \boxed{c=3200}\\ \\ 31^2=d-31^2~~~\Rightarow~~~ \boxed{d=1922}$

Максимальная разность: 3200 - 338 = 2862

Answer 2

Для решения данной задачи, давайте проанализируем уравнение:

$13 \cdot \sqrt{a} - \frac{13}{2} + 27 \cdot \sqrt{b} - \frac{27}{2} + 40 \cdot \sqrt{c} - \frac{40}{2} + 31 \cdot \sqrt{d} - \frac{31}{2} = \frac{a + b + c + d}{2}$

Перенесем все члены с корнями на одну сторону уравнения:

$13 \cdot \sqrt{a} + 27 \cdot \sqrt{b} + 40 \cdot \sqrt{c} + 31 \cdot \sqrt{d} = \frac{a + b + c + d}{2} + \frac{13}{2} + \frac{27}{2} + \frac{40}{2} + \frac{31}{2}$

Теперь рассмотрим разность двух из чисел $a$, $b$, $c$, $d$, скажем $a$ и $b$:

$|a - b| = a - b \quad \text{(поскольку мы ищем наибольшую разность)}$

Мы можем оценить разность $|a - b|$ путем оценки выражения $\sqrt{a} - \sqrt{b}$. Заметим, что для положительных чисел $x$ и $y$, если $x > y$, то $\sqrt{x} > \sqrt{y}$. Таким образом, наибольшее значение разности будет достигаться тогда, когда значения под корнем будут максимальными.

Таким образом, чтобы получить наибольшую разность, мы должны выбрать наибольшие возможные значения для $a$ и $b$.

Возвращаясь к уравнению, давайте примем $a = 13^2$, $b = 27^2$, $c = 40^2$ и $d = 31^2$, так чтобы выражения $\sqrt{a} - \sqrt{b}$, $\sqrt{b} - \sqrt{c}$ и $\sqrt{c} - \sqrt{d}$ были максимальными.

Теперь вычислим разность:

$|a - b| = |13^2 - 27^2| = |169 - 729| = 560$

Таким образом, наибольшее значение разности двух из чисел $a$, $b$, $c$, $d$ равно 560, и оно достигается при $a = 13^2$ и 0 0