Question

Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям xy'+y-e×=0; y|=b

Answer 1

Посмотрите предложенное решение.

Answer 2

Для нахождения частного решения уравнения с начальным условием, сначала нам нужно решить само уравнение, а затем подставить начальное условие для определения конкретной константы.

Дано уравнение: $xy' + y - e = 0$

Для начала, приведем уравнение к более удобному виду. Выразим производную $y'$: $y' = \frac{e - y}{x}$

Теперь мы можем решить это дифференциальное уравнение. Для этого проведем разделение переменных и проинтегрируем обе стороны:

$\int \frac{dy}{e-y} = \int \frac{dx}{x}$

Для интегрирования левой части воспользуемся заменой переменных $u = e - y$, тогда $du = -dy$. Тогда интеграл примет вид:

$-\int \frac{du}{u} = \int \frac{dx}{x}$

$-\ln|u| = \ln|x| + C_1$

где $C_1$ - произвольная постоянная интегрирования.

Применяя свойства логарифмов, получим:

$\ln|u| = -\ln|x| + C_1$

Теперь найдем конкретное выражение для $u$:

$u = e - y$

$e - y = C_2 \cdot \frac{1}{x}$

где $C_2 = \pm e^{C_1}$, и также является произвольной постоянной.

Теперь выразим $y$ относительно $x$:

$y = e - \frac{C_2}{x}$

Теперь, чтобы найти конкретное значение $C_2$, воспользуемся начальным условием $y|_{x=b} = b$:

$b = e - \frac{C_2}{b}$

$C_2 = b(e - b)$

Таким образом, частное решение уравнения с данным начальным условием будет:

$y = e - \frac{b(e - b)}{x}$