Question

1:Найти общее решение уравнения: x*y*dx=(1+x^2)dy 2:Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям: (1+y)dx=(1-x)dy; y=3 при x=-2 3: найти частное решение уравнения: y''-5y'=0

Answer 1

$1. xydx=(1+x^2)dy \\ \frac{dy}{y} = \frac{xdx}{x^2+1} \\ \int\frac{dy}{y} = \frac{1}{2} \int \frac{d(x^2+1)}{x^2+1} \\ lny=ln \sqrt{x^2+1} +lnC \\ y=C\sqrt{x^2+1} \\ \\ 2. (1+y)dx=(1-x)dy \\ \frac{dy}{1+y} = \frac{dx}{1-x} \\ \frac{dy}{1+y} = -\frac{dx}{x-1} \\ \int\limits\frac{d(y+1)}{1+y} = - \int\limits\frac{d(x-1)}{x-1} \\ lny=-lnx+lnC \\ y= \frac{C}{x} \\ y(-2)= \frac{C}{-2}=3 \\ C=-6 \\ y=-\frac{6}{x} \\ \\ 3. y''-5y'=0 \\ k^2-5k=0 \\ k(k-5)=0 \\ k_1=0, k_2=5 \\ y=C_1+C_2e^{5x}$

Answer 2

Для начала рассмотрим первое уравнение:

1. Найти общее решение уравнения: Уравнение выглядит следующим образом: x * y * dx = (1 + x^2) * dy.

Для решения этого уравнения можно использовать метод разделяющихся переменных. Для этого перепишем уравнение в следующем виде:

x * y * dx - (1 + x^2) * dy = 0.

Теперь разделим дифференциалы переменных:

x * y * dx = (1 + x^2) * dy.

Разделим обе части уравнения на x * (1 + x^2):

(y * dx) / (1 + x^2) = dy / x.

Интегрируем обе части уравнения:

∫(y * dx) / (1 + x^2) = ∫dy / x.

Для левой части уравнения используем замену переменной u = 1 + x^2, тогда du = 2x dx:

∫(y * dx) / u = ∫(dy) / x.

Заменим переменные и выполним интегрирование:

∫(y * dx) = ∫(dy) / (x * u),

y = ∫(dy) / (x * u).

Интегрирование даст следующий результат:

y = ln|x| - ln|u| + C,

где C - произвольная постоянная.

Вернемся к замене переменной и подставим обратные значения:

x = ±√(u - 1),

u = 1 + x^2.

Подставим значения обратно в уравнение:

y = ln|x| - ln|(1 + x^2)| + C.

Таким образом, общее решение уравнения имеет вид:

y = ln|x| - ln|(1 + x^2)| + C.

Теперь перейдем ко второму уравнению:

2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям: Уравнение имеет вид: (1 + y) * dx = (1 - x) * dy, и дано начальное условие: y = 3 при x = -2.

Для нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям, мы можем использовать метод вариации постоянной.

Перепишем уравнение в следующем виде:

(1 + y) * dx - (1 - x) * dy = 0.

Разделим обе части на (1 - y):

(dx) / (1 - y) = (dy) / (1 + x).

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

∫(dx) / (1 - y) = ∫(dy) / (1 + x).

Левая часть уравнения:

∫(dx) / (1 - y) = ln|1 - y| + C1,

где C1 - постоянная интегрирования.

Правая часть уравнения:

∫(dy) / (1 + x) = ln|1 + x| + C2,

где C2 - постоянная интегрирования.

Теперь соберем все вместе:

ln|1 - y| + C1 = ln|1 + x| + C2.

Объединим константы в одну постоянную:

ln|1 - y| = ln|1 + x| + C,

где C = C2 - C1.

Упростим уравнение, применяя экспоненту:

|1 - y| = e^(ln|1 + x| + C).

Избавимся от модуля:

1 - y = ±e^(ln|1 + x| + C).

Раскроем экспоненту:

1 - y = ±e^(ln|1 + x|) * e^C.

Поскольку e^C > 0, можно записать:

1 - y = ±K * |1 + x|,

где K = e^C.

Теперь рассмотрим начальные условия: y = 3 при x = -2.

Подставим значения в уравнение:

1 - 3 = ±K * |1 - 2|.

Упростим:

-2 = ±K.

Таким образом, имеем два случая:

1) -2 = K:

1 - y = -2 * |1 + x|.

2) -2 = -K:

1 - y = 2 * |1 + x|.

Это два частных решения уравнения, удовлетворяющие начальным условиям.

Надеюсь, эта информация полезна. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!