Question

1. Найти частное решение уравнения: yʺ - 4yʹ + 7y = 0, удовлетворяющее заданным начальным условиям: y(0)= -1; yʹ(o) = 1 2. Найти общее решение уравнения: 7yʺ + 4yʹ - 11y = 0, удовлетворяющее заданным начальным условиям: y(0)= 1; yʹ(o) = -1 3. Найти общее решение уравнения: yʺ + 11y = 0, удовлетворяющее заданным начальным условиям: y(1)= 0; yʹ(o) = 1

Answer 1

$> A = 1.25, B = -1.25 => Y(p) = \frac{5}{4}(\frac{1}{p} - \frac{1}{p+4}) => y = \frac{5}{4}(1-e^{-4x})$

Остальные аналогично

Answer 2

Для решения дифференциальных уравнений с начальными условиями, сначала найдем частное решение в каждом случае, а затем общее решение.

1. Найти частное решение уравнения: yʺ - 4yʹ + 7y = 0, удовлетворяющее заданным начальным условиям: y(0)= -1; yʹ(0) = 1

Для начала найдем характеристическое уравнение: r^2 - 4r + 7 = 0

Решим квадратное уравнение для r: r = (4 ± √(4^2 - 417)) / 2 r = (4 ± √(16 - 28)) / 2 r = (4 ± √(-12)) / 2 r = (4 ± 2i√3) / 2 r = 2 ± i√3

Так как корни являются комплексными, общее решение будет иметь вид: y(t) = e^(2t)(C1cos(√3t) + C2sin(√3t))

Теперь найдем константы C1 и C2, используя начальные условия:

y(0) = e^(20)(C1cos(√30) + C2sin(√3*0)) = C1 C1 = -1

yʹ(0) = 2e^(20)(C1sin(√30) + √3C2cos(√30)) = 2(C2√3) = 1 C2 = 1/(2√3)

Итак, частное решение с заданными начальными условиями: y(t) = e^(2t)(-cos(√3t) + (1/(2√3))sin(√3t))

2. Найти общее решение уравнения: 7yʺ + 4yʹ - 11y = 0, удовлетворяющее заданным начальным условиям: y(0)= 1; yʹ(0) = -1

Для начала найдем характеристическое уравнение: 7r^2 + 4r - 11 = 0

Решим квадратное уравнение для r: r = (-4 ± √(4^2 - 47(-11))) / (2*7) r = (-4 ± √(16 + 308)) / 14 r = (-4 ± √324) / 14 r = (-4 ± 18) / 14

1. r = (18 - 4) / 14 = 14/14 = 1
2. r = (-18 - 4) / 14 = -22/14 = -11/7

Так как у нас есть два различных корня, общее решение будет иметь вид: y(t) = C1e^(t) + C2e^((-11/7)*t)

Теперь найдем константы C1 и C2, используя начальные условия:

y(0) = C1e^(0) + C2e^(0) = C1 + C2 = 1

yʹ(0) = C1 - (11/7)*C2 = -1

Теперь решим систему уравнений:

C1 + C2 = 1 C1 - (11/7)*C2 = -1

Из первого уравнения выразим C1: C1 = 1 - C2 Подставим во второе уравнение:

(1 - C2) - (11/7)*C2 = -1

Раскроем скобки и упростим:

1 - C2 - 11/7 * C2 = -1

1 - 18/7 * C2 = -1

Теперь выразим C2:

C2 = (1 - (-1)) / (18/7) = 2 / (18/7) = 7/9

Теперь найдем C1:

C1 = 1 - C2 = 1 - 7/9 = 2/9

Итак, общее решение с заданными начальными условиями: y(t) = (2/9)*e^(t) + (7/9)*e^((-11/7)*t)

3. Найти общее решение уравнения: yʺ + 11y = 0, удовлетворяющее заданным начальным условиям: y(1)= 0; yʹ(0) = 1

Для начала найдем характеристическое уравнение: r^2 + 11 = 0

Решим квадратное уравнение для r: r = ±√(-11) r = ±i√11

Так как корни являются комплексными, общее решение будет иметь вид: y(t) = C1cos(√11t) + C2sin(√11t)

Теперь найдем константы C1 и C2, используя начальные условия:

y(1) = C1cos(√111) + C2sin(√111) = 0

Учитывая, что sin(√11) ≠ 0, получаем C1 = 0

yʹ(0) = -C1√11sin(√110) + C2√11cos(√110) = C2*√11 = 1

Теперь найдем C2:

C2*√11 = 1

C2 = 1/√11

Итак, общее решение с заданными начальными условиями: y(t) = (1/√11)sin(√11t)