Question

Найти интеграл dx/(sin^2*3x)

Answer 1

$\int\frac{dx}{\sin^23x}=\left(\begin{array}{c}u=ctg3x=\frac{\cos3x}{\sin3x}\\du=\frac{-3\sin^2x-3\cos^2x}{\sin^23x}dx=-\frac3{\sin^23x}dx\\-\frac13du=\frac1{\sin^23x}\end{array}\right)=\int-\frac13du=-\frac13\int du=\\=-\frac13u+C=-\frac13ctg3x+C$

Answer 2

Для решения данного интеграла, воспользуемся тригонометрической подстановкой. Положим:

u = 3x, du = 3 dx, dx = du / 3.

Теперь заменим переменные в исходном интеграле:

∫ dx / sin^2(3x) = ∫ (du / 3) / sin^2(u) = (1/3) ∫ du / sin^2(u).

Интеграл ∫ du / sin^2(u) можно решить, используя тригонометрические свойства. Напомним, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Делим числитель и знаменатель на cos^2(u):

(1/3) ∫ du / sin^2(u) = (1/3) ∫ du / (1 - cos^2(u)).

Теперь сделаем замену v = cos(u), тогда dv = -sin(u) du:

(1/3) ∫ du / (1 - cos^2(u)) = -(1/3) ∫ dv / (1 - v^2).

Затем, разложим дробь на простые дроби:

-(1/3) ∫ dv / (1 - v^2) = -(1/3) ∫ (1/2) * (1 / (1 + v) + 1 / (1 - v)) dv.

Теперь интегрируем каждую дробь по отдельности:

-(1/3) * (1/2) * ∫ (1 / (1 + v)) dv - (1/3) * (1/2) * ∫ (1 / (1 - v)) dv.

∫ (1 / (1 + v)) dv = ln |1 + v| + C1, ∫ (1 / (1 - v)) dv = ln |1 - v| + C2,

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Теперь вернемся к переменной u:

∫ dx / sin^2(3x) = -(1/3) * (1/2) * (ln |1 + v| + ln |1 - v|) + C,

где v = cos(3x).

Теперь объединим логарифмы:

∫ dx / sin^2(3x) = -(1/3) * (1/2) * ln |(1 + v)(1 - v)| + C,

где v = cos(3x).

Так как cos^2(x) + sin^2(x) = 1, а cos(2x) = 2cos^2(x) - 1, то v = cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x).

Теперь заменим v в интеграле:

∫ dx / sin^2(3x) = -(1/3) * (1/2) * ln |(1 + (4cos^3(x) - 3cos(x)))(1 - (4cos^3(x) - 3cos(x)))| + C.

Таким образом, интеграл ∫ dx / sin^2(3x) равен:

-(1/3) * (1/2) * ln |(1 + (4cos^3(x) - 3cos(x)))(1 - (4cos^3(x) - 3cos(x)))| + C.