Question

Найти производную функции:у=√х^3-1

Answer 1

$\displaystyle y=\sqrt{x^3}-1\\\\y'=\frac{3}2x^{\frac{3}2-1}=\boxed{\frac{3}2\sqrt{x}}$

Answer 2

Для нахождения производной функции у = √(х^3 - 1) по переменной х, нужно использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Давайте выполним этот процесс:

По цепному правилу, производная сложной функции u = f(g(x)) равна произведению производной внешней функции f'(u) и производной внутренней функции g'(x).

Здесь внешней функцией является функция извлечения квадратного корня (у = √u), а внутренней функцией является функция х^3 - 1.

1. Найдем производную внутренней функции g(x) = x^3 - 1: g'(x) = d/dx (x^3 - 1) = 3x^2.

2. Теперь найдем производную внешней функции f(u) = √u: f'(u) = d/du (√u) = 1 / (2√u).

3. Теперь применим цепное правило: dy/dx = f'(u) * g'(x) = (1 / (2√u)) * 3x^2,

4. Подставим u обратно: u = x^3 - 1: dy/dx = (1 / (2√(x^3 - 1))) * 3x^2.

Таким образом, производная функции у = √(х^3 - 1) по переменной х равна (1 / (2√(x^3 - 1))) * 3x^2.